Probabilidad. Experimentos aleatorios

Probabilidad

Ernesto Mordecki 8 de junio de 2007

´Indice

1. Experimentos aleatorios        2
2. Sucesos        2
3. Probabilidad        3
4. Probabilidad y Permutaciones        5
5. Probabilidad y Combinaciones        8
6. Operaciones con sucesos        9
7. Regla de la suma        12
8. Propiedades de la probabilidad        13
9. Probabilidad condicional        15
10. Fo´rmula  de  la probabilidad  total         16
11. Fo´rmula  de  Bayes         18
12. Sucesos independientes        20
13. Paseo al azar y triangulo de Pascal        23
14. Ley  de los  grandes  nu´meros         25
15. Bibliograf´ıa         29

1. Experimentos aleatorios

Las  probabilidades  aparecen  asociadas  a  los  fen´omenos  aleatorios.  Un feno´meno  aleatorio  es  aquel  en  el  cual  la  verificaci´on  de  un  cierto  conjun- to de condiciones determinadas conduce a un resultado entre una serie de resultados posibles. Llamamos experimento aleatorio a ese conjunto de con- diciones  determinadas.  Por  contraposici´on,  los  feno´menos  determ´ısticos,  o no aleatorios son aquellos en los que la verificaci´on de un cierto conjunto de condiciones determinadas conduce, en forma inevitable, a un resultado fijo. Como ejemplos: tirar una moneda al aire y observar la cara que presenta al caer al piso es un experimento aleatorio (tenemos dos resultados posibles: cara  y  nu´mero);  mientras  que  enfriar  agua  hasta  cero  grados  cent´ıgrados bajo  presion  atmosf´erica  normal  es  un  fen´omeno  determin´ıstico  (conduce inequ´ıvocamente a la formaci´on de hielo).

1. Sucesos

Consideremos un experimento aleatorio, y designemos mediante la letra griega  mayu´scula  Ω  (Omega)  el  conjunto  de  todos  sus  resultados  posibles. Llamamos a este conjunto Ω espacio de sucesos elementales, y a sus puntos sucesos  elementales  o tambi´en  casos  posibles. Suponemos que Ω es un con- junto finito y utilizamos la letra n para designar su cantidad de elementos.

Ejemplo 1. Si tiramos una moneda al aire, tenemos un experimento aleatorio con

Ω = {cara, nu´mero},

y resulta n = 2.

Ejemplo 2. Si tiramos un dado, tenemos seis resultados posibles,

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

y en este caso n = 6.

Ejemplo 3. Si lanzamos un dado dos veces consecutivas, tenemos 36 casos posibles, resultantes de combinar el primer resultado con el segundo, que podemos representar en la siguiente tabla:

donde, por ejemplo, el caso (3, 4) representa el resultado correspondiente a obtener 3 puntos en la primer tirada y 4 en la segunda.

Llamamos suceso a cada subconjunto de Ω. Designamos a los sucesos mediante las letras A, B, C, . . . con sub´ındices o sin ellos. Los sucesos pueden tener  uno  o  varios  elementos,  y  tambi´en  ningu´n  elemento.  En  este  u´ltimo caso tenemos el suceso imposible, que designamos mediante ∅. En el ejemplo 3, el conjunto

A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}

es un suceso, y corresponde a obtener un as en la primer tirada del dado.

Los puntos que componen un suceso se llaman casos favorables para la ocurrencia de dicho suceso.

El surgimiento de la teor´ıa de la probabilidad es muy anterior a la crea- ci´on de la teor´ıa de conjuntos. Por esto, desde su mismo inicio, en teor´ıa de la probabilidad se utiliz´o (y continu´a utiliz´andose) una terminolog´ıa espec´ıfica, diferente  de  la  terminolog´ıa  utilizada  en  teor´ıa  de  conjuntos.  En  la  p´agina 11  se  presenta  una  tabla  de  t´erminos  de  teor´ıa  de  conjuntos,  junto  con  los correspondientes  t´erminos  del  c´alculo  de  probabilidades,  que  introducimos y utilizamos a lo largo de este curso. Las letras A, B, C, . . . , con ´ındices o sin ellos, designan a los sucesos, es decir, a los subconjuntos de Ω.

1. Probabilidad

Definicio´n  1.  Dado  un experimento  aleatorio  con  un espacio  de n sucesos elementales Ω, la probabilidad del suceso A, que designamos mediante P(A), es  la  razo´n  entre  la  cantidad  de  casos  favorables  para  la  ocurrencia  de  A y la  de casos  posibles.  En otros  t´erminos

P(A) = nA ,[pic 1]

n

donde nA es la cantidad de casos favorables de A.

Veamos tres observaciones que resultan de esta definici´on.

Observacio´n.  De la definici´on dada se obtiene que cada suceso elemental tie- ne probabilidad 1/n. Decimos en este caso que los sucesos son equiprobables. Esta  es  una  caracter´ıstica  muy  importante  de  la  definici´on,  que  establece limitaciones en su aplicaci´on en aquellos experimentos aleatorios donde este supuesto sea razonable.

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