Problemas de fisica. Ley de gravitacion universal

Ley de gravitación universal.

1.- Supongamos que la Tierra tiene una segunda Luna cuyo periodo de traslación es de 40 días. Usando que la constante kepleriana de la primera Luna (la real) es  calcular el radio orbital del segundo satélite.[pic 1]

Por tercera ley de Kepler sabemos que en un sistema existe una constante que llamamos , esa constante tendrá entonces el mismo valor para cualquier satélite que orbite nuestro planeta.[pic 2]

[pic 3]

Si  es igual a  entonces:[pic 4][pic 5]

[pic 6]

Pero conocemos la constante kepleriana de la luna real por lo tanto nos quedaría:

[pic 7]

También conocemos el periodo de la luna hipotética que es de 40 días.

[pic 8]

Despejamos la  y obtendríamos la distancia del segundo satélite.[pic 9]

[pic 10]

2.- Asumiendo que la K planetaria es de , calcula la masa del Sol.[pic 11]

Para todos los planetas, la relación entre el cubo del radio de la órbita y el cuadrado del período es la misma. Eso es lo que nos dice Kepler, pero para encontrar la masa del sol tenemos que incluir a Newton con su ley de gravitación universal. La tercera ley de newton nos dice que "para cada acción existe una reacción igual y opuesta". Por lo tanto:

[pic 12]

Newton también observo que  es proporcional al cuadrado del radio. [pic 13]

[pic 14]

Por segunda ley de Newton  la aceleración a del objeto dependerá de la masa m del mismo. Ahora la misma ecuación para el otro cuerpo  vemos que  también será proporcional a la masa , entonces conociendo todo esto Newton nos dice que. [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

Es decir:

[pic 20]

Si existe una proporcionalidad, tiene que haber una constante que pueda igualar la ecuación. A esta constante Newton le llamo la constante de gravitación universal .[pic 21]

[pic 22]

Con esta ecuación podemos resolver el problema si juntamos la ley de gravitación de newton con la tercera ley de Kepler. Sabemos que [pic 23]

[pic 24]

Donde la aceleración es igual a:

    &   [pic 25][pic 26]

Entonces la aceleración la podemos escribir como:

[pic 27]

Si le agregamos la tercera ley de Kepler a la aceleración nos quedaría:

[pic 28]

Por lo tanto, al sustituir en las ecuaciones de Newton obtendríamos que:

[pic 29]

Las masas y los radios se cancelan, entonces la ecuación seria:

[pic 30]

Por ultimo despejamos la  y resolvemos:[pic 31]

[pic 32]

3.- ¿A qué altitud pesará una persona la mitad de lo que pesa sobre superficie de la Tierra?

Sabemos que  por lo tanto:[pic 33]

[pic 34]

Como queremos saber a qué altitud pesa la mitad debemos de poner  donde  es el radio ecuatorial del planeta y  la altura que le tenemos que sumar al radio ecuatorial de la tierra.[pic 35][pic 36][pic 37]

[pic 38]

Nos quedaría como:

[pic 39]

Despejamos la  y resolvemos el problema.[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

4.- Calcula la constante kepleriana que deben tener los satélites, naturales y artificiales, que orbitan la Tierra si la masa de nuestro planeta es .[pic 43]

Si juntamos las ecuaciones de Newton con la tercera ley de Kepler nos queda que la masa por la constante de gravitación es igual a:

[pic 44]

Entonces si despejamos la constante kepleriana de esa ecuación no quedaría:

[pic 45]

Por lo tanto, la constante es igual a:

[pic 46]

5.- Ío es un satélite que, con un radio orbital de , se traslada alrededor de Júpiter en . Calcula el periodo de Calisto, otro de los satélites jovianos, cuyo radio orbital es de .[pic 47][pic 48][pic 49]

Lo primero es convertir los días en segundos:

[pic 50]

Por tercera ley de Kepler sabemos que en un sistema existe una constante que llamamos , esa constante tendrá entonces el mismo valor para cualquier satélite que orbite el planeta Júpiter.[pic 51]

[pic 52]

Por lo tanto, primero tenemos que saber el valor de la constante kepleriana de Júpiter. Para eso utilizaremos la ecuación de la tercera ley de Kepler.

 [pic 53]

Luego de conocer la constante kepleriana del sistema de Júpiter podemos calcular el periodo de Calisto con la misma ecuación:

[pic 54]

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