RANGO Y MATRICES ELEMENTALES DE UNA MATRIZ
Enviado por edeada • 6 de Octubre de 2021 • Prácticas o problemas • 1.516 Palabras (7 Páginas) • 133 Visitas
RANGO DE UNA MATRIZ
El rango de una matriz es el orden de la submatriz cuadrada mas grande contenida en cuyo determinante es no nulo , se denota por [pic 1][pic 2][pic 3]
Nota:
1.- De la definicion se tiene :
Si entonces [pic 4][pic 5]
Si entonces [pic 6][pic 7]
Observacion:
1.- ,vemos que el rango de es 1[pic 8][pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
2.- Para calcular el rango de la matriz , bastará con encontrar una submatriz cuadrada mas grande contenida en con determinante diferente de cero. Si este no fuera el caso continuamos con las submatrices cuadradas de orden inferior.[pic 12][pic 13]
Ejemplo
Calcule el rango de la matriz [pic 14]
Solucion:
Obtengamos las submatrices cuadradas mas grandes de (algunas)[pic 15]
si calculamos el determinante de cada uno de ellos nos dá cero.[pic 16]
Por ejemplo: [pic 17]
Ubiquémonos con las submatrices cuadradas de orden 2.
, vemos que su determinante es diferente de cero ,por lo tanto el rango de es 2[pic 18][pic 19]
Nota:
1.- Dada la matriz (matriz nula) entonces el [pic 20][pic 21]
2.- Toda matriz diferente de la matriz nula tiene [pic 22][pic 23]
3.- Si (matriz nula) entonces : [pic 24][pic 25]
4.- Si (matriz nula) , entonces : [pic 26][pic 27]
5.- Sea (matriz nula) entonces se tiene:[pic 28]
, es equivalente a decir “ es no singular “[pic 29][pic 30][pic 31]
6.- Sean , entonces : [pic 32][pic 33]
7.- Dada la matriz identidad [pic 34]
Ejemplo:
Demostrar que :
Si , donde n es el orden de la matriz A [pic 35]
matriz identidad[pic 36]
Sugerencia:
- [pic 37]
ii) , donde son matrices de orden n[pic 38][pic 39]
Solucion:
[pic 40]
Por lo tanto: [pic 41]
[pic 42]
….( i )[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
……(ii)[pic 47]
De ( i ) y ( ii ) se tiene: [pic 48]
[pic 49]
Ejemplo:
Si es una matriz no singular , para que valor ó valores de ,la matriz tiene rango máximo[pic 50][pic 51][pic 52]
Solución:
[pic 53]
= [pic 54][pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
OPERACIONES ELEMENTALES
Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas sobre una matriz a las [pic 62]
siguientes operaciones:
1.- Al intercambio de 2 filas
Notacion.- La fila i lo intercambiamos por la fila j , se denota por [pic 63][pic 64][pic 65]
2.- A la multiplicación de una fila por un escalar no nulo
Notacion.- A la fila i lo multiplicamos por el escalar , se denota por [pic 66][pic 67][pic 68]
3.- A una fila le sumamos el múltiplo de otra fila.
Notacion.- A la fila i le sumamos veces la fila j , se denota por [pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]
Ejemplo:
Dada la matriz [pic 73]
[pic 74][pic 75]
Vemos que la matriz se obtuvo a traves de la matriz por medio de tres operaciones elementales[pic 76][pic 77]
Cuando esto ocurre se dice que y son matrices equivalentes[pic 78][pic 79]
Observación:
[pic 80]
[pic 81]
MATRICES EQUIVALENTES
Se dice que dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a traves de la otra por medio de un numero finito de operaciones elementales.[pic 82]
Se denota por [pic 83]
Ejemplo:
Dada la matriz podemos decir que ¿ ?[pic 84][pic 85]
Solución:
[pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
MATRIZ ESCALONADA
Definicion.-
Una matriz es escalonada si tienen la siguiente estructura:[pic 89]
1.- Las primeras k filas son no nulas y las restantes (m-k) filas so nulas
2.- El primer elemento no nulo de cada una de las primeras k filas es la unidad
3.- En cada una de las k filas ,el número de ceros anteriores a la unidad crece de fila a fila
Ejemplo:
- es escalonada[pic 90]
- es escalonada[pic 91]
- no es escalonada [pic 92]
es escalonada[pic 93]
- no es escalonada[pic 94]
Propiedad.- Cualquier matriz puede ser reducida a una matriz escalonada mediante un numero finito de operaciones elementales por filas.[pic 95]
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