RANGO Y MATRICES ELEMENTALES DE UNA MATRIZ

RANGO DE UNA MATRIZ

El rango de una matriz  es el orden de la submatriz cuadrada mas grande contenida en cuyo determinante es no nulo , se denota por   [pic 1][pic 2][pic 3]

Nota:

1.- De la definicion se tiene :

     Si  entonces  [pic 4][pic 5]

     Si   entonces  [pic 6][pic 7]

Observacion:

1.- ,vemos que el rango de  es 1[pic 8][pic 9]

 [pic 10]

 [pic 11]

2.- Para calcular el rango de la matriz  , bastará con encontrar una submatriz cuadrada mas grande contenida en  con determinante diferente de cero. Si este no fuera el caso continuamos con las submatrices cuadradas de orden inferior.[pic 12][pic 13]

Ejemplo

Calcule el rango de la matriz [pic 14]

Solucion:

Obtengamos las submatrices cuadradas mas grandes de  (algunas)[pic 15]

  si calculamos el determinante de cada uno de ellos nos dá cero.[pic 16]

Por ejemplo:  [pic 17]

Ubiquémonos con las submatrices cuadradas de orden 2.

 , vemos que su determinante es diferente de cero ,por lo tanto el rango de   es 2[pic 18][pic 19]

Nota:

1.- Dada la matriz     (matriz nula) entonces   el  [pic 20][pic 21]

2.- Toda matriz  diferente de la matriz nula tiene  [pic 22][pic 23]

3.- Si  (matriz nula) entonces :  [pic 24][pic 25]

4.- Si   (matriz nula) , entonces : [pic 26][pic 27]

5.- Sea   (matriz nula)  entonces se tiene:[pic 28]

       ,  es equivalente a decir  “ es no singular “[pic 29][pic 30][pic 31]

6.- Sean , entonces :  [pic 32][pic 33]

7.- Dada la matriz identidad  [pic 34]

Ejemplo:

Demostrar que :

Si      , donde n es el orden de la matriz A [pic 35]

matriz identidad[pic 36]

Sugerencia:

1. [pic 37]

ii) ,  donde   son matrices de orden n[pic 38][pic 39]

Solucion:

 [pic 40]

 Por lo tanto: [pic 41]

 [pic 42]

  ….( i )[pic 43]

   [pic 44]

    [pic 45]

      [pic 46]

  ……(ii)[pic 47]

De ( i ) y ( ii ) se tiene:    [pic 48]

 [pic 49]

Ejemplo:

Si    es una matriz no singular , para que valor ó valores de  ,la matriz          tiene rango  máximo[pic 50][pic 51][pic 52]

Solución:

   [pic 53]

 =  [pic 54][pic 55]

   [pic 56]

   [pic 57]

   [pic 58]

     [pic 59]

  [pic 60]

 [pic 61]

OPERACIONES ELEMENTALES

Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas sobre una matriz  a las [pic 62]

siguientes operaciones:

1.- Al intercambio de 2 filas

     Notacion.- La fila i  lo intercambiamos por la fila j  ,   se denota por    [pic 63][pic 64][pic 65]

2.- A la multiplicación de una fila por un escalar no nulo

    Notacion.- A la fila i  lo multiplicamos por el escalar  , se denota por  [pic 66][pic 67][pic 68]

3.- A una fila le sumamos el múltiplo de otra fila.

    Notacion.- A la fila i  le sumamos   veces la fila j  , se denota por  [pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]

Ejemplo:

Dada la matriz   [pic 73]

 [pic 74][pic 75]

Vemos que la matriz  se obtuvo a traves de la matriz  por medio de tres operaciones elementales[pic 76][pic 77]

Cuando esto ocurre se dice que    y   son matrices equivalentes[pic 78][pic 79]

Observación:

   [pic 80]

 [pic 81]

MATRICES EQUIVALENTES

Se dice que dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a traves de la otra por medio de un numero finito de operaciones elementales.[pic 82]

Se denota por  [pic 83]

Ejemplo:

Dada la matriz   podemos decir que  ¿  ?[pic 84][pic 85]

Solución:

    [pic 86]

     [pic 87]

   [pic 88]

MATRIZ ESCALONADA

Definicion.-

Una matriz  es escalonada si tienen la siguiente estructura:[pic 89]

1.- Las primeras k filas son no nulas y las restantes (m-k) filas so nulas

2.- El primer elemento no nulo de cada una  de las primeras k filas es la unidad

3.- En cada una de las k filas ,el número de ceros anteriores a la unidad crece de fila a fila

Ejemplo:

1.   es escalonada[pic 90]

1.  es escalonada[pic 91]

1.  no es escalonada [pic 92]

 es escalonada[pic 93]

1.  no es escalonada[pic 94]

Propiedad.- Cualquier matriz    puede ser reducida a una matriz escalonada mediante un numero finito de operaciones elementales por filas.[pic 95]

Ejemplo:

Reducir a su forma escalonada la siguiente matriz:

 [pic 96]

Solucion:

  [pic 97][pic 98][pic 99]

 [pic 100][pic 101]

 [pic 102][pic 103]

 [pic 104]

DETERMINACION DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR OPERACIONES ELEMENTALES

Propiedad.-

Dos matrices equivalentes tienen el mismo rango, es decir:

Si:  [pic 105]

Nota.-

Para hallar el rango de una matriz es suficiente con llevarla a su forma escalonada, donde el rango de la matriz está  dada por el número de filas no nulas.

Ejemplo:

Determine  el rango de  [pic 106]

Solución:

 [pic 107]

      [pic 108]

Ejemplo:1

Sea la matriz   , para que valor o valores de x el    es 4,3,2[pic 109][pic 110]

Solucion:

Calculemos el determinante de la matriz [pic 111]

 [pic 112]

    [pic 113]

 [pic 114]

 [pic 115]

  [pic 116]

   [pic 117]

   [pic 118]

    [pic 119]

 [pic 120]

   [pic 121]

El     si:  [pic 122][pic 123]

Si : [pic 124]

Analicemos para los valores de  x = 0, 1 , -1

Si x = 0  ,reemplazando en la matriz A :

 [pic 125]

Tenemos que el  r(A)=2

...