Álgebra de Matrices: Una matriz es un arreglo rectangular de la forma

Segundo semestre de 2014

Material de Apoyo Matemática Intermedia IC

Matemática intermedia I

Álgebra de Matrices

Matriz:

Una matriz es un arreglo rectangular de la forma:

[pic 1]

Donde los aij (i subíndice de la fila, j subíndice de columna), son los escalares en la matriz, (coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales ordenados en sus respectivas posiciones, la matriz anterior se denota por  (aij ) donde los subíndices varían de 1 a n o m, según sea el caso.

Al elemento aij se le llama la componente ij y ocupa la i-ésima fila y la j-ésima columna.

Una matriz con n columnas y m filas se llama m por n y el par de números (m,n) se llama tamaño o forma, por ejemplo si tenemos la matriz:

[pic 2], esta tiene dos filas y tres columnas.

Sus filas son: (2,1,0) y (5,’4,3)

Sus columnas son: [pic 3],[pic 4] y [pic 5]

Las matrices generalmente se designan por letras mayúsculas A, B,...  y sus elementos por letras minúsculas (cuerpo de la matriz).

Decimos que dos matrices son iguales si sus elementos correspondientes son iguales y tienen la misma forma.  Por lo tanto la igualdad de matrices m por n equivale a un sistema de m por n igualdades, una para cada par de elementos, ejemplo:

Operaciones con matrices

Suma de matrices y multiplicación por un escalar

• Dos matrices se pueden sumar si son del mismo tamaño o forma, o sea que tengan el mismo número de filas y columnas.  La suma de A y B representada por C, es la matriz que se obtiene sumando los elementos correspondientes de las matrices A y B

A + B = C

Ejemplo:

Sume las siguientes matrices.

[pic 6], [pic 7]  ⇒  [pic 8] ⇒ [pic 9]

• El producto de un escalar k por una matriz A representado kA es la matriz que se obtiene al multiplicar cada componente de A por k.

Ejemplo:

Encuentre el resultado de: kA si k = 2 y [pic 10]

[pic 11]    ⇒    [pic 12]    ⇒    [pic 13]

Nota:

La suma de matrices de diferente forma o tamaño, no está definida.

Las propiedades básicas de las matrices con operaciones  de suma de matrices y multiplicación por un escalar, son las siguientes.

Sea V el conjunto de todas las matrices m por n sobre un cuerpo K.  Entonces para toda matriz A, B, C ∈ V y todo escalar k1, k2, ∈ K,

1. Asociativa respecto de la suma(  A + B ) + C  = A + ( A + B )
2. Existencia de elemento neutro aditivo A + 0 = A
3. existencia de inverso aditivo A + ( -A ) = 0
4. Conmutativa  A + B = B + A
5. Distributiva de la multiplicación respecto de la suma k( A + B) = kA + kB
6. Distributiva de la suma respecto de la multiplicación ( k1 + k2 )A = k1A+ k2A
7. Asociativa respecto de la multiplicación (k1k2)A = k1(k2A)
8. Existencia de elemento neutro de la multiplicación 1(A) = A

Multiplicación de Matrices

Para encontrar el producto de dos matrices AB, necesitamos que el número de filas de la segunda matriz B, sea igual al número de columnas de la primera matriz (A)

A = (  2×3 )      B = ( 3×2 )[pic 14][pic 15]

[pic 16]

A = ( m×n )     B = ( n×p )[pic 17][pic 18]

[pic 19]

Lo anterior significa que si multiplicamos una matriz A de tamaño m×n por otra matriz B de tamaño n×p, se puede realizar el producto A×B y el resultado será una matriz C de m filas y p columnas. Los elementos de la matriz resultante serán obtenidos de la siguiente forma:

Cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj

Ejemplo:

Si  [pic 20]  [pic 21]

 AB = C está dado por:

[pic 22][pic 23]=[pic 24]

Matriz identidad

El conjunto de todas las matrices de orden n tiene una identidad multiplicativa, ésta es una matriz única In de orden nn tal que AIn = InA = A para cualquier matriz A de orden nn  y decimos que In es la matriz identidad de orden n.

La matriz identidad es una matriz en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los demás son iguales a cero, ejemplo:

[pic 25],               [pic 26],               [pic 27]

Ejemplo:

Verifique que I3 es la matriz multiplicativa de todas las matices cuadradas de orden 3.

Demostración:

Si [pic 28]  y si [pic 29]

  [pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35]

Matriz Diagonal

Es una matriz cuyos elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son iguales a cero, ejemplo:

[pic 36],   [pic 37]

Matriz Triangular

1. Superior

Una matriz triangular superior es aquella en la cual aparecen ceros por debajo de la diagonal principal.

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