Radicacion

Radicación

La visión del Universo que tenían el gran sabio griego Pitágoras de Samos y sus discípulos, los llamados pitagóricos, estaba dominada por sus ideas filosóficas acerca del número. Decían que el número natural y las proporciones entre números naturales gobernaban todo cuanto existía.

Un descubrimiento hecho por los mismos pitagóricos demostró que esta afirmación era falsa. Descubrieron la existencia de un número que no era natural y tampoco se podía expresar como fracción alguna.

Todo comenzó con el llamado Teorema de Pitágoras. Se llama Teorema a toda afirmación matemática importante que es demostrada de manera rigurosa, irrefutable. El Teorema de Pitágoras afirma que, en todo triángulo rectángulo, el lado mayor, llamado hipotenusa, elevado al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, llamados catetos.

Se sabe que es igual al área del cuadrado cuyo cuyo lado es a (potenciación en N ). Así, lo que el Teorema de Pitágoras afirma es lo siguiente: las áreas de los cuadrados cuyos lados son a y b, al sumarse, dan el área del cuadrado cuyo lado es c.

En todos los triángulos rectángulos quizás el de apariencia más sencilla fue el que produjo entre los pitagóricos la gran conmoción de presentar la existencia de una medida que no era expresable como un número natural ni como una fracción.

El triángulo cuyos catetos son ambos de medida 1 fue el que originó el derrumbe de toda una teoría filosófica.

El triángulo en cuestión es el de la derecha.

El Teorema de Pitágoras asegura que .

Usando un método muy sencillo, los pitagóricos intentaron encontrar números naturales m,n tales que , sin lograrlo nunca. La idea era la siguiente:

se divide un cateto en segmentos de igual longitud (longitud u)

Se intentaba dividir la hipotenusa también en segmentos de longitud u, pero siempre sobraba un segmento de longitud menor queu:

En vista de que había un segmento sobrante, se escogía una medida para el segmento que fuera la mitad de la medida anterior, con la esperanza de que no hubiera ningún segmento sobrante en la hipotenusa. Pero no funcionaba (ver imagen de la izquierda)

Si hubieran encontrado un segmento que cupiera una cantidad exacta de veces tanto en la hipotenusa como en los catetos, digamos, 13 veces en la hipotenusa y 8 veces en los catetos, se tendría que la hipotenusa medía , pues la proporción entre hipotenusa y cateto, que era , también era igual a y así obtendrían .

Pero no obtuvieron jamás una medida que cupiera una cantidad exacta de veces en ambos lados del triángulo. Surgió así el primer número irracional, aquel cuyo cuadrado es igual a 2. Casi 2000 años después se le dioel nombre de "raíz cuadrada de dos'' y se creó el símbolo para representar las raíces cuadradas.

Se llama radicación a la operación indicada por toda expresión matemática que consista en una potencia con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo , al cual se llama raíz. En los siguientes ejemplos se observa cómo será utilizado este símbolo:

Símbolo Se lee

raíz cúbica de 2

raíz cuarta de un medio al cubo

raíz séptima de menos cinco

raíz octava de siete a la menos cinco

raíz quinta de menos dos tercios a la ocho

raíz sexta de cinco tercios a la menos uno

raíz cuadrada de cuatro quintos

Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice.

Por ejemplo, en la expresión se tiene Índice=3 y Cantidad subradical=2

Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite. Es decir, significa y se lee "raíz cuadrada de 7''. Es importante recordar ( potenciación con base en Q y exponente en Z ) que siempre podemos expresar una potencia con exponente negativo como el inverso de una potencia con exponente positivo.

Por ejemplo:

(¿Por qué?)

(¿Por qué?)

En general, dados cualesquiera números racionales a,b,m,n, las siguientes igualdades son válidas:

Así, algunos de los ejemplos anteriores se pueden escribir de diferentes maneras:

1.

2.

3.

...