Radicación

Serie

Desarrollo del pensamiento matemático

Nº 6

3

a

Potenciación

Martín Andonegui Zabala

372.7

And. Multiplicación

Federación Internacional Fe y Alegría, 2005.

30 p.; 21,5 x 19 cm. ISBN: 980-6418-72-7

Matemáticas, potenciación.

El aprendizaje es el proceso cognitivo por excelencia que hace avanzar

el desarrollo de la inteligencia. En cada edad, el ser humano está genéticamente preparado para desarrollar nuevas capacidades intelectuales. El educador debe ofrecer el contexto y la estimulación adecuados para lograr el desarrollo

de esas capacidades”.

Gabriela Alejandra Fairsten y Silvana Gyssels

A modo de

Equipo editorial

María Bethencour t

Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático

Serie: Potenciación, número 6

Autor: Mar tín Andonegui Zabala

Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la prác- tica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su publicación se realizó en el marco del Programa Internacional de Formación de Educadores Populares desarrollado por la Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001.

Diseño y diagramación: Juan Bravo

Portada e ilustraciones: Juan Bravo

Corrección de textos: María Bethencour t, Margarita Arribas

Edita y distribuye: Federación Internacional Fe y Alegría. Esquina de Luneta, Edif. Centro Valores, piso 7, Altagracia, Caracas 1010-A,Venezuela.

Teléfonos: (58) (212) 5645624 / 5645013 / 5632048

Fax (58) (212) 5646159

web: www.feyalegria.org

© Federación Internacional Fe y Alegría

Depósito Legal: lf 603 2005 510 28 68

Caracas, octubre 2005

Publicación realizada con el apoyo de:

Centro Magis

Instituto Internacional para la Educación Superior

en América Latina y el Caribe (IESALC) - Corporación Andina de Fomento (CAF)

introducción

y para desperezarnos un poco, ahí van unas cuestiones sencillas para en- trar en materia y en calor. Tratemos de resolverlas antes de seguir adelante.

¿Cuál es la cifra de las unidades en el desarrollo de la potencia 8.642123?

Halle el número de dos cifras cuyo valor es igual al cuadrado de la suma de dichas cifras.

¿Es par o impar la diferencia entre los cuadrados de dos números naturales consecutivos?

¿Qué potencia de base 3 es igual a la tercera parte de 32.004?

Exprese el número 17 como suma de los cuadrados de tres números enteros, no necesariamente diferentes. Haga lo mismo con el número 36. E igualmente con el número 98.

¿Cómo puede escribirse 1 millón como potencia de base 10?

¿Qué número sigue en la secuencia: 0 ,

1 , 2 , 5 , 26 , …?

¿Cuántas cifras diferentes se necesitan para escribir el desarrollo de la poten- cia 102.005? ¿Y para el desarrollo de la potencia 0,01315?

¿Es posible que el cubo de un número natural termine en 2?

¿Cuál es el número natural cuyo cubo puede expresarse de la forma

29 x 36?

¿Qué números naturales del 1 al 10 pue- den expresarse como la diferencia de los cuadrados de dos números naturales?

¿Puede ser par alguna de las potencias de un número impar?

Bien, ya tenemos nuestras respues- tas, que iremos contrastando con las indicaciones y ejercicios que planteare- mos a lo largo de las líneas que siguen.

Y un segundo recordatorio:

La sugerencia que proponíamos en el Cuaderno Nº 1 y que siempre pre- sidirá los demás Cuadernos: Vamos a estudiar matemática, pero no lo vamos a hacer como si fuéramos simplemente unos alumnos que posteriormente van a ser evaluados, y ya. No. Nosotros somos docentes –docentes de mate- mática en su momento– y este rasgo debe caracterizar la forma de construir nuestro pensamiento matemático. ¿Qué significa esto?

• La presencia constante de la meta última de nuestro estudio: alcanzar unos niveles de conocimiento tecnológico y reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio

hacia la búsqueda de aplicaciones de lo aprendido, hacia el análisis de los sistemas que dan forma a nuestra vida y utilizan ese conocimiento matemático, y hacia criterios sociales y éticos para juzgarlos.

• Construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo ense- ñamos en el aula, además de reflexionar acerca de cómo nuestro conocer limita y condiciona nuestro trabajo docente. De esta forma, integrar nuestra práctica docente en nuestro estudio.

• Como complemento de lo anterior, construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo po- demos llevar al aula. Para ello, tomar conciencia del proceso que seguimos para su construcción, paso a paso, así como de los elementos –cognitivos, actitudinales, emocionales– que se presenten en dicho proceso. Porque a partir de esta experiencia reflexiva como estudiantes, podremos enten- der y evaluar mejor el desempeño de nuestros alumnos –a su nivel– ante los mismos temas.

• En definitiva, entender que la matemática es la base de su didáctica: la forma en que se construye el cono- cimiento matemático es una fuente imprescindible a la hora de planificar y desarrollar su enseñanza.

Y ahora, vamos al tema de este Cua- derno, la potenciación.

1. ¿Qué es la potenciación de números naturales? Veamos estos ejemplos. El área de

un cuadrado cuyo lado mide 3 metros se obtiene multiplicando esa medida por sí misma: área = 3 m x 3 m = (3 x 3) m2.

3 m

Si disponemos ahora de un cubo cuya arista mide 6 cm y queremos calcular su volumen, sabemos que éste se obtiene multiplicando la medida de esta arista por sí misma tres veces: volumen = 6 cm x 6 cm x 6 cm = (6 x 6 x 6) cm3.

Supongamos, finalmente, que esta- mos participando en un juego de co- nocimientos y que con cada respuesta

acertada duplicamos los puntos obteni- dos anteriormente.

Sí No

Si la puntuación inicial es 1 y un participante falla en su sexta pregun- ta, se retirará con 2 x 2 x 2 x 2 x 2 puntos, fruto de sus cinco respuestas correctas.

Sí No

Las tres multiplicaciones mostra- das (3 x 3; 6 x 6 x 6; 2 x 2 x 2 x 2 x 2) son singulares: en cada una de ellas se repite el factor. La operación que consiste en multiplicar un factor reiteradamente se denomina poten- ciación. Como puede observarse, no se trata realmente de una operación nueva en sentido estricto, sino de un caso particular de la multiplicación de números naturales, así que todo lo dicho al respecto en el Cuaderno anterior sigue conservando ahora su validez.

Pero, como veremos a lo largo de este Cuaderno, vale la pena dete- nernos en el estudio particular de la operación (así la consideraremos en adelante) de potenciación en virtud de sus singularidades, por la posibilidad que nos ofrece de ampliar las formas de representación de los números y potenciar nuestra capacidad de cál- culo mental, por las propiedades que le son inherentes, por la variedad de problemas que nos permite plantear y resolver, por el esfuerzo de obser- vación que nos exige permanente- mente…

2. La representación de una potencia

Cada multiplicación de factores rei- terados recibe el nombre de potencia y

tiene su forma peculiar de escribirse. Así, 6 x 6 x 6 se escribe 63. Los elemen- tos que intervienen en esa expresión tienen su propia nomenclatura:

6 se denomina base de la potencia;

es el factor que se reitera.

3 se denomina exponente de la po- tencia; indica el número de ve- ces que se repite la base como factor.

63 se denomina potencia de base

6 y exponente 3; 63 = 6 x 6 x 6

= 216.

Existen otras formas habituales de referirse a una potencia. Por ejemplo, 25 se puede leer: 2 elevado a la quinta; 2 a la quinta; la quinta potencia de 2. Lo de “elevado” hace referencia a que el expo- nente se escribe más alto que la base… En cambio, no resulta acertado expresar “2 elevado a la quinta potencia”, ya que el término “potencia” aparece ahí como

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