Radicacion

¿Qué es la radicación?

En matemática, la potencia de un número es el producto de factores iguales: . Esta operación de elevar a una potencia se llama involución (sic)1 . Al igual que la adición y la multiplicación, la potenciación tiene una operación inversa, pero operación unaria, llamada extracción de una raíz o radicación (evolución).

Para cualquier entero positivo n, un número b es la raíz enésima de a, si b es tal que , 2 donde n se llama índice de la raíz, que indica qué raíz se va a hallar; a se denomina radicando, y b es la raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre

Propiedades

Como se indica con la igualdad de la raíz , la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a una potencia, cuyo exponente es el inverso multiplicativo del índice 5 . Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Ecuación básica

Dada la ecuación siendo a, b n reales positivos; caben los tres casos

1. Conocidos a y n, se halla b mediante potenciación.

2. Conocidos b y n, se halla a mediante radicación para n entero positivo, o bien elevando a b a la potencia 1/n y hasta con radicales

3. Dada , llamada función exponencial, no hay método general para despejar x por propiedades de la potenciación. Se resuelve con logaritmos. De modo que

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Generalicemos

Si tenemos que , podemos escribir que , donde el signo recibe el nombre de signo radical, 49 es la cantidad subradical, 7 es la raíz cuadrada y el número 2 es el índice de la raíz. En este caso como el índice de la raíz es 2 se trata de una raíz cuadrada.

Cuando el índice es 3 diremos que la raíz es cúbica, cuando es 4 se trata de una raíz cuarta, cuando es 5 se trata de una raíz quinta, cuando es 6 se trata de una raíz sexta, y así sucesivamente.

Cuando la raíz es cuadrada, cuando el índice es 2, generalmente se omite dicho índice:

Una raíz es exacta cuando al elevarla a la potencia que indica el índice coincide con la cantidad subradical. 5 es la raíz cúbica exacta de 125 puesto que .

Una raíz es inexacta cuando no existe ningún número entero que al elevarlo a la potencia que indica el índice coincida con la cantidad subradical. La raíz cuadrada de 63 es inexacta, puesto que no existe ningún número entero que elevado al cuadrado dé 63.

Los únicos números naturales que tienen raíz cuadrada exacta son los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25… etc. Análogamente, los únicos número que tienen raíz cúbica exacta son los cubos perfectos: 1, 8, 27, 64, 125… etc.

Entendamos el proceso…

Para entenderlo mejor lo veremos en el siguiente ejemplo:

1) Aplicando Notación Científica nos quedaría

2) En éste caso, porque es raíz cuadrada, pasaremos el 6.4 a número

entero, desplazando el punto de izquierda a derecha y procedemos a restar potencias:

5 – 1 = 4, quedándonos así:

3) Obtenemos raíz cuadrada de 64 que sería 8 y de la Potencia 4 que sería 2.

4) Teniendo como respuesta

Veamos otro ejemplo combinando operaciones:

Tenemos

1) Trabajamos por separado cada una de las cantidades:

, desplazamos el punto y restamos potencia, obteniendo

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