Razones Y Proporciones

RAZONES Y PROPORCIONES

Introducción

Tanto en la vida diaria como en las operaciones comerciales es necesario comparar cosas, ya que algunos enunciados que involucran números, tienen un significado muy restringido si no se comparan con otros o con otras cantidades. En la siguiente presentación usted podrá apreciar lo que son las Razones y Proporciones, aparte de ejercicios de explicación y aplicación.

Anécdota

La leyenda del Ajedrez

Una antiquísima leyenda cuenta que Sheram, príncipe de la india, quedó tan maravillado cuando conoció el juego del ajedrez, que quiso recompensar generosamente a Sessa, el inventor de aquel entretenimiento. Le dijo: "Pídeme lo que quieras". Sessa le respondió: "Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64". El príncipe no pudo complacerle, porque el resultado de esa operación S = 1 + 2 + 4 + ... + 263 es aproximadamente 18 trillones de granos. Para obtenerlos habría que sembrar la Tierra entera 65 veces. Pulula por los círculos matemáticos un sorprendente final de la historia. Sheram, preocupado al haber empeñado su palabra, mandó llamar al matemático del reino, un tal Pepe Martínez Aroza, el cual razonó de la siguiente manera: "Alteza, puesto que no tenéis trigo suficiente para pagar la deuda contraída con Sessa, igual os daría deberle aún más. Sed, pues, magnánimo y aumentad vuestra recompensa a la cantidad S = 1 + 2 + 4 + 8 +... hasta el infinito. Observad que, a partir de la segunda casilla, todas las cantidades a sumar son pares, lo cual nos permite escribir S = 1 + 2 Ã- (1 + 2 + 4 + 8 +...), o lo que es lo mismo, S = 1 + 2 Ã- S. Ahora, vos mismo podéis resolver esta sencilla ecuación de primer grado y, veréis que la única solución es S = -1. Podrás decir a Sessa que no solamente puede considerarse pagado con creces, ya que haber aumentado enormemente tu recompensa, sino que actualmente se adeuda un grano de trigo."

Razones y proporciones

A continuación conceptos básicos sobre cada uno de estos temas:

RAZON:

Es la comparación entre dos cantidades.

NOTA:

Si dicha comparación se realiza mediante una sustracción se llama razón aritmética

Pero si se realiza mediante una división se llamara razón geométrica

Ejemplo:

Las edades de Eduardo y Rene son 48 y 12 años se observa que:

a) 48-12= 36 Razón aritmética (Sustracción)

48 excede a 12 en 36 unidades.

b) 48/12=4 Razón geométrica (División)

48 es a 4 veces 12

Por lo tanto si tenemos dos cantidades: a y b.

Donde:

a : Antecedente

b: Consecuente

r : Valor de razón aritmética

K: valor de la razón geométrica

Observaciones:

• La razón geométrica es la que tiene mas uso en el desarrollo de este curso, de modo que si indicamos la razón y no su clase entenderemos que es una razón geométrica

• Las comparaciones también las podemos dar para mas de 2 cantidades , por ejemplo tres números se encuentran en la misma relación que los números 6,10y14

Donde:

a: Antecedente

b: Consecuente

r : Valor de razón Aritmética

k: valor de la razón Geométrica

Proporción

Es la igualdad de dos razones de una misma clase y que tienen el mismo valor

CLASES DE PROPORCIÓN

1) PROPORCIÓN ARITMÉTICA

a: es primer termino

b: segundo termino

c: Tercer termino

d: cuarto termino

Ejemplo:

Se tiene 4 chompas cuyos precios son S/.15, S/.13, S/.9 y S/. 7 los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo :

S/.15 - S/.13 = S/. 2

S/. 9 - S/.7 = S/. 2

S/. 15 - S/.13 = S/.9 - S/.7………….. Es una proporción aritmética (Sustracción)

Interpretando:

El precio de S/.15 excede al precio de S/.13 tanto como el de S/. 9 excede al de siete

TIPOS DE PROPORCION ARITMETICA

Donde:

b: media diferencial o media aritmética

c: tercera diferencial.

q: cuarta diferencial

NOTA:

En toda progresión aritmética se cumple que:

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