Sistema de coordenadas y recta

Ejercicio 1.

Demuestra que los puntos (7,3) 𝑦 (3,7) están a la misma distancia del origen. (5 puntos)

Respuesta:

Tenemos:

A (7,3)

B (3,7)

Origen= C (0,0)

Formula distancia (d):

d=√((〖x_2-x_(1))〗^2+(y_(2-) y_1 )^2 )

dAC=√((〖7-0)〗^2+(3-0)^2 )

dAC=√((〖7)〗^2+(3)^2 )

dAC=√(49+9)

dAC=√58

dAC=7,61

dBC=√((〖3-0)〗^2+(7-0)^2 )

dBC=√((〖3)〗^2+(7)^2 )

dBC=√(9+49)

dBC=√58

dBC=7,61

Es posible afirmar que ambos puntos están a la misma distancia del punto de origen.

Ejercicio 2

Utiliza las pendientes para demostrar que (1,1), 𝐵(11,3), 𝐶(10,8)𝑦 𝐷(0,6) son los vértices de un rectángulo. (10 puntos)

Respuesta:

Tenemos:

𝐴 (1,1)

𝐵 (11,3)

𝐶 (10,8)

𝐷 (0,6)

Formula pendiente (m):

m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

mAB=(3-1)/(11-1)=2/10=1/5

mBC=(8-3)/(10-11)=5/(-1)=-5

mCD=(6-8)/(0-10)=(-2)/(-10)=1/5

mDA=(1-6)/(1-0)=(-5)/1=-5

Ejercicio 3.

Si (6,8) es el punto medio del segmento de recta AB, y si A tiene coordenadas (2,3), determina las coordenadas de B. (10 puntos)

Respuesta:

Tenemos:

M (6,8)

A (2,3)

Formula punto medio (P):

P((x_1+x_2)/2;(y_1+y_2)/2)

P((2+x_B)/2;(3+y_B)/2)

P((2+x_B)/2=6 ; (3+y_B)/2=8)

P(2+x_B=6*2 ; 3+y_B=8*2)

P(2+x_B=12 ; 3+y_B=16)

P(x_B=12-2 ; y_B=16-3)

P(x_B=10 ; y_B=13)

Entonces, B tiene coordenadas (10,13)

Ejercicio 4

Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por el punto (−2,0) y es perpendicular a la recta de ecuación 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0. (5 puntos).

Respuesta:

Tenemos:

B (-2,0)

Siendo la fórmula de ecuación principal de la recta:

Ax+By+C=0

By=-Ax-C/(*1/B);B≠0

y=-A/B x-C/B

Donde m es el coeficiente de “x” , m=-A/B y corresponde a la pendiente de la recta.

Y teniendo como última expresión, obtenemos la ecuación principal de la recta

y=mx+b; m,b∈R

Entonces,

2x-y+5=0

y=-2/(-1) x-5/(-1)

y=2x+5

Pendiente de la recta:

m=2

Ya conociendo la pendiente m = 2 y teniendo las coordenadas del punto B (-2,0), utilizamos la formula ecuación punto-pendiente

y-y_1=m(x-x_1)

Reemplazamos,

y-y_1=m(x-x_1)

y-0=2(x-(-2))

y-0=2(x+2)

y-0=2x+4

y=2x+4+0

...