Sistema De Coordenadas

INTRODUCCIÓN

Las derivadas parciales, que a través de ella podemos ver la medición de la rapidez de cambio de la variable dependiente y la regla de la cadena que es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. son parte de la multiplicación de LaGrange, ya que para llegar a la resolución de problemas o ecuaciones debemos aplicar todo y cada unos de estos pasos, que son de suma importancia.

Hay muchos matemáticos que participaron en la creación de estas formulas como son: Isaac Newton, Isaac Barrow, Leibniz y Arquímedes que con su interés y conocimientos llegaron a obtener resultados que jamás podríamos ver hoy en día sino fuese por estos muy inteligentes hombres.

Definición de Derivadas Parciales

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.

Suponga que dejamos variar sólo a x, dejando a y fija, digamos y= b, en donde b es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable x, a saber g(x) = f (x, b). Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b). De forma análoga podemos hacerlo para y variable y x fija.

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)

Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:

:

Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:

Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parámetros distintos a los que se realiza la derivada.

Derivadas de Orden superior

A su vez, la derivada parcial puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C2; en este caso, las derivadas parciales (llamadas parciales) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwarz.

En R2, si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

Regla de la Cadena

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por

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