Soluciones a algunos de los tipos de integrales

9.Método de integración por partes.-

Se trata de otro método que permite resolver cierto tipo de integrales. Veamos: P Sea u(x) una función. Para abreviar la expresaremos por u. Su derivada será u´ y su diferencial du = u´dx P Sea v(x) otra función. Para abreviar la expresaremos por v. Su derivada será v´ y su diferencial dv = v´dx P Supongamos que deseamos resolver una integral de la forma siguiente: I u dv u v dx = = ⋅ ′ ∫∫ Es decir, la función integrando es el producto de la función u y la derivada de v. Dicho de otro modo, se trata de hallar las primitivas de una función que es el producto de una función u por la diferencial de otra v.

¡Pues bien! Vamos a deducir una fórmula que nos permitirá resolver integrales de este tipo. Veamos: O Sea (u·v)(x) = u (x)·v(x) la función producto de u y v. Para abreviar expresaremos u·v O Derivemos la función producto: (u·v)´= u´· v + u · v´ (recuerda “derivada de un producto) O La diferencial de la función producto será: d(u·v) = (u·v)´dx = v · du + u · dv = v · u´dx + u · v´dx O Si consideramos la igualdad d(u·v) = v · du + u · dv e integramos en ambos miembros: { d u v v du u dv v du u dv ( ) ( ) ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ∫∫∫ ∫ integral de u na suma O Considerando que la integración es la operación recíproca de la derivación, es decir, “la integral de la derivada de una función es esa función”: d u v u v dx u v ()() ⋅ = ⋅ ′ = ⋅ ∫∫ O Considerando las dos igualdades anteriores, podemos poner: u v v du u dv ⋅ = ⋅ + ⋅ ∫∫ O Recordemos que el objetivo es calcular la integral , por lo que despejando: I u dv =⋅ ∫

que es la fórmula del método de integración por partes, la cual nos permite resolver la integral si antes somos capaces de resolver la integral I u dv =⋅ ∫ v du ⋅∫

9.1.Observaciones.- Hagamos algunas observaciones importantes que deben considerarse al aplicar este método de integración: Î Este método de integración se emplea cuando la función integrando es el producto de una función (u) por la derivada de otra (v), es decir:

{ I u v dx = ⋅ ′ ∫ integrando Ï En la práctica, si empleamos este método, debemos separar el integrando en dos partes.

u dv u v v du ⋅ = ⋅ − ⋅ ∫∫

Matemáticas de 2º de bachillerato página 65 Integral indefinida

Una es la función u = u(x) y la otra dv = v´(x) dx. Saber elegir adecuadamente quien hace el papel de u(x) y quien el de v´(x) es el paso más difícil en muchos casos. Ð Suele ocurrir que al hacer una elección para u(x) y v´(x), la integral, lejos de resolverse, se complique más. Esto significa que no hemos hecho la elección correcta y debemos intentarlo con una nueva. Ñ Nótese que para resolver al integral debemos hallar el producto de dos I udv = ∫ funciones (u·v), lo cual no representa ninguna dificultad y otra integral . vdu∫ Esta última integral debe ser más fácil de resolver que , ya que si fuese más I udv = ∫ complicada el método no sería útil (evidentemente, no nos interesa que para resolver una integral tengamos que hacer una más complicada que la que nos dan). Ò Puede ocurrir que la integral que debemos resolver para hallar , se vdu∫ I udv = ∫ tenga que resolver por este mismo método, es decir, hay que aplicar el método de integración por partes dos veces. Ó Para recordar la fórmula de integración por este método, existe una regla nemotécnica que es facilita recordarla y así evitar un esfuerzo memorístico. Veamos:

» Regla nemotécnica

Veamos algunos ejemplos de aplicación de este método.

Ejemplo 32.- Intentemos resolver por el método de integración por partes I x Lxdx = ∫ 2 Veamos: S La función integrando es f x x Lx () = 2

S Efectuamos la siguiente elección :

ux dv Lxdx = =

    

2

S Aplicando la fórmula tenemos: I x Lxdx udv u v vdu = = = ⋅ − ∫∫∫ 2 S Veamos que elementos conocemos y desconocemos de la fórmula anterior:

elementos de la formula

u conocida ya que u x v desconocida aunque conocemossu derivada v Lx du la podemos hallar En efecto du xdx

&

,

,

.:

→= → ′ = →=

    

2

2 S Debemos hallar la función v(x) para poder aplicar la fórmula. Veamos: » Supongamos que esta integral nos resulta difícil.v dv v x dx Lx dx = = ′ = ∫∫∫ () Nos preguntamos: ¿Habremos hecho una elección correcta? ¿Habrá una elección mejor que la anterior? Vamos a intentarlo.

R Hacemos la siguiente elección:

u Lx dv x dx = =

     2

u dv u v v du ⋅ = ⋅ − ⋅ ∫∫ “Un día vi un vigilante vestido de uniforme”

Matemáticas de 2º de bachillerato página 66 Integral indefinida

R Aplicando la fórmula tenemos: I Lx x dx udv u v vdu = ⋅ = = ⋅ − ∫∫∫ 2 R Veamos que elementos conocemos y desconocemos de la fórmula anterior:

elementos de la formula

u conocida ya que u Lx v desconocida aunque conocemossu derivada v x du la podemos hallar En efecto du dx x

&

,

,

.:

→=

→ ′ =

→=



  

  

2

1

R Debemos hallar la función v(x) para poder aplicar la fórmula. Veamos: ³ Hemos dejado la constante C para el final{v dv v x dx x dx inmediata x = = ′ = = ∫∫∫ () 2 3 3 R Ahora conocemos todos los elementos que intervienen en la fórmula y podemos aplicarla:

I x Lxdx udv u v vdu Lx

xx x dx

x Lx x

dx

x Lx

I = = = ⋅ − = ⋅ − = − = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ 2 33 3 2 3 133 1 3 3 3

Hemos llamado , integral que debemos resolver. I x dx1 2 3 = ∫ R Resolvamos la integral I1 :

» Hemos dejado la constante C para el finalI x dx x dx xx 1 2 2 33 3 1 3 1 3 3 9 = = = = ∫∫ R Substituyendo:

() ()

I x Lxdx x Lx x

C

x Lx x

C

x Lx

C

x Lx C= = − + = − += − += − +∫ 2 33 33 3 33 39 3 9 31 9 1 9

Ejemplo 33.- Resolvamos por el método de integración por partes la integral I x x dx = ∫ cos

U Debemos hacer una elección

u dv dx = =

  

?

? U Después de hacer la elección y al aplicar la fórmula, nos encontraremos que debemos resolver dos integrales:

Debemos resolver v dv vdu =     ∫ ∫

X Hagamos la siguiente elección:

ux dv v dx x dx = = ′ =

   cos

X Hallemos los elementos que faltan de la fórmula:

du u dx dx dx v dv x dx senx = ′ = = = = =

     ∫∫

1 cos

X Apliquemos la fórmula:

[] I udv u v vdu x senx senx dx xsenx x C x senx x C = = ⋅ − = − = − − + = = + + ∫∫∫ cos cos

Estas integrales deben ser más sencillas de resolver que la propia I, ya que si no fuese así entenderemos que el método no “funciona”

Matemáticas de 2º de bachillerato página 67 Integral indefinida

Ejemplo 34.- En este ejemplo veremos un caso en el que hay que aplicar el método en dos ocasiones. Queremos resolver la integral I x e dx x = ∫ 2 Veamos: M Decidimos intentarlo por el método “por partes”

M Hacemos una elección (con la esperanza que funcione):

u u x e dv v x dx x dx x == = ′ =

    

() () 2

M Escribimos la fórmula: I udv u v vdu = = ⋅ − ∫∫ M Observamos que necesitamos hallar du y v : du e dx

v dv x dx

x

x

=

= = =

     ∫∫ 2 3 3

() la c onstante l a d ejamos para e l final

M Substituimos en la fórmula:

I x e dx e x dx e xx e dx e

x

I x x x x x = = = − = − ∫∫∫ 22 3 3 3 1 3 3 3

Hemos llamado I

x

e dx x

1

3

3

= ∫ M Debemos resolver la integral I1, la cual nos parece “más difícil” que la propuesta. Esto nos lleva a pensar lo siguiente: “O el método elegido (integración por partes) no es bueno para esta integral o la elección de las funciones u y dv no ha sido la adecuada”

E Cortamos con lo anterior e intentamos otra elección:

u u x x dv v x dx e dx x == = ′ =

    

() ()

2

E Hallemos los elementos que faltan para poder aplicar la fórmula: du u x dx xdx v dv v x dx e dx e xx = ′ = = = ′ = =      ∫∫ ∫ () ( ) ( ) 2 omitimos la constante C E Aplicamos la fórmula: (y)I x e dx x e e xdx x e xe dx x e I x x x x x x = = − = − = − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 1 2 2 2 Hemos llamado I xe dx x 1 = ∫ E Debemos resolver la integral I1, la cual nos parece “más fácil” que la propuesta. Esto nos anima a seguir por este camino. E Para resolver intentaremos el mismo método (integración por partes). I xe dx x 1 = ∫

Hacemos la elección:

ux dv e dx

du dx v e dx e omitimos Cx xx

=

=

    

⇒

=

==

     ∫ () E Aplicamos la fórmula (no olvidar que estamos hallando I1) I xe dx udv u v vdu xe e dx xe e omitimosC x x x x x 1 = = = ⋅ − = − = − ∫∫∫∫ () E Substituimos en (y): [] I x e xe e C x e xe e C x x x x x x = − − + = − + + 22 2 2 2

Matemáticas de 2º de bachillerato página 68 Integral indefinida

Ejemplo 35.- En el ejemplo anterior hallamos las funciones primitivas de la función , f x x e x() = 2 obteniendo como solución

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