TALLER 2 LOGICA MATEMATICA

1. Escriba en forma simbólica procurando transcribir la idea original de la frase.

a) Para ser bachiller es necesario terminar los estudios en un colegio aprobado por el Ministerio de Educación o aprobar los exámenes de validación.

p = {Ser bachiller}

q = {Terminar los estudios en un colegio aprobado por el Ministerio de Educación}

r = {Aprobar los exámenes de validación}

p → (q v r)

b) Un número es par, sí y sólo sí, es múltiplo de 2 y no es cero.

p = {Número par}

q = {Múltiplo de 2}

r = {Cero}

p ↔ (q ᴧ ¬r)

c) Si ‘X’ es un número par, entonces ‘X2’ es un número par.

p = {X número par}

q= {x2 número par}

p → q

d) ABC es un triángulo sí y sólo si, es una figura plana, cerrada y tiene tres ángulos.

p = {ABC triangulo}

q = {Es una figura plana}

r = {Es una figura cerrada}

s = {Tiene tres ángulos}

p ↔ {(q ᴧ r) ᴧ s}

2. Escriba en forma simbólica (escoja las letras adecuadas para representar las diferentes proposiciones elementales) y represéntelas por medio de conjuntos.

a. Nos vemos en un bus o en un tren.

INTERSECCION DISYUNTA

p = {Nos vemos en un bus}

q = {Nos vemos en un tren}

U p v q

b. 2 es un número par y primo

UNION INTERSECANTE

p = {2 numero par}

q = {2 numero primo}

U p ᴧ q

c. Voy a la fiesta si y solamente si ella también va.

p = {Voy a la fiesta}

q = {Ella va a la fiesta}

U p ↔ q

d. Ninguno de los dos países ganó la guerra.

p = {Los dos países}

q = {Gano la guerra}

U

e. Si estoy cansado o con hambre no puedo estudiar.

p = {Estoy cansado}

q = {Estoy con hambre}

r = {Puedo estudiar}

U

3. Escriba la tabla de verdad de las siguientes fórmulas proposicionales e indicar si es una tautología.

(((p v q) → q) ' ٨ ((p → r') → (q → r)))

NO ES TAUTOLOGÍA

(p → (q v r)) ↔ ((p → q) v (p → r))

SI ES TAUTOLOGÍA

4. Según el siguiente enunciado: “Si comprendo un enunciado entonces puedo resolverlo”, plantear las proposiciones contraria, recíproca y contrarrecíproca de esta expresión.

DIRECTA p → q Si comprendo un enunciado entonces puedo resolverlo.

CONTRARIA ¬p → (¬q) Si no comprendo un enunciado entonces no puedo resolverlo.

RECIPROCA q → p Si puedo resolver un enunciado entonces lo comprendo.

CONTRARRECIPROCA ¬q → (¬p) Si no puedo resolver un enunciado entonces no lo comprendo.

5. Usando tablas de verdad demostrar las siguientes leyes de inferencia:

a) Modus ponendo ponens

P → Q

P

Q

b) Modus tollendo tollens

P → Q

⌐Q

⌐P

c) Ley del silogismo disyuntivo.

P v Q P v Q

⌐ P ⌐ Q

Q P

6. Utilizar el modus ponens (MP), el modus tollens (MT) y el silogismo disyuntivo (SD), para solucionar el siguiente problema:

"Y ahora llegamos a la pregunta del por qué. El robo no ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareció. ¿Fue por motivos políticos, o fue una mujer? Esta es la pregunta con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia esta última suposición. Los asesinos políticos se complacen demasiado en hacer sólo su trabajo y huir. Este asesinato, por el contrario, había sido realizado muy deliberadamente, y quien lo perpetró dejó huellas por toda la habitación, mostrando que estuvo aquí todo el tiempo". Planteado a Sherlock Holmes en "Un estudio en escarlata".

FORMULAS

MPP= ((p → q) ᴧ p) → q

MTT= ((p → q) ᴧ¬q) → ¬p

SD= ((p v q) ᴧ¬p) → q

((p v q) ᴧ¬q) → p

s = {Desaparece algo}

r = {Robo}

p = {Político}

q = {Mujer}

t = {Huye rápidamente y no deja huella}

7. Escribir una “C” junto a cada ejemplo en el que la conclusión es correcta según el modus poniendo ponens. Poner una “I” junto a la conclusión incorrecta:

a. Premisas: S y (S-> T): conclusión T = ((S ᴧ (S → T) → T = C

b. Premisas: (T -> V) y T: conclusión V = ((T -> V) ᴧ T) → V = C

c. Premisas: (P -> Q) y Q: conclusión P = ((P -> Q) ᴧ Q) → P = I

d. Premisas: S y (R-> S): conclusión R = S ᴧ (R-> S) → R = I

8. Diseñar tres ejemplos adicionales para demostrar la ley del modus tollens.

- MODUS TOLLENS

 p = {Es por la mañana}

q = {El sol estará en el Este}

[(p → q) ˄ ¬q] → ¬p

Si es por la mañana entonces el sol estará en el Este y si el sol no está en el Este, entonces no es por la mañana.

 q = {Si llueve}

r= {Si relampaguea}

s= {Hace frio}

[(( q ˄ r) → s) ˄ ¬s] → ¬ (q ˄ r)

Si llueve y relampaguea entonces hace frio y si no hace frio, entonces no llueve ni relampaguea.

 p = {Hace sol}

q = {Llueve}

[(p → ¬q) ˄ ¬¬q ] → ¬p

Si hace sol entonces no llueve y si llueve entonces no hace sol.

9. Con las siguientes premisas, demostrar cómo se utiliza la generalización existencial dentro de la demostración formal.

a. Toda persona que ha ganado 100 millones es rica.

b. Alguien ha ganado cien millones.

Lo que implica lógicamente que

c. Hay alguien que es rico.

- Px ↔ x Toda persona que ha ganado 100 millones

Rx ↔ x Es rica.

(∀x) Px → Rx

- Gx ↔ X Alguien ha ganado cien millones.

Qx ↔ x Hay alguien que es rico.

(∃x) Gx → Qx

CONCLUSIÓN

(∀x) Px → Rx → (∃x) Gx → Qx

10. Escriba la conclusión y especifique cuál de las reglas de inferencia aplica para resolver el siguiente razonamiento: Si un ángulo de un triángulo es mayor que 90 grados, entonces la suma de los otros dos ángulos es menor de 90 grados. La suma de los otros dos ángulos no es menor de 90 grados. CONCLUSIÓN el ángulo del triangulo no es mayor a 90º

p = {Si un triángulo es mayor de 90°}

q = {La suma de los lados es menor de 90°}

[(p → q) ˄ ¬q] → ¬p = REGLA DE INFERENCIA MODUS TOLENDO TOLLENS.

11. Escriba la expresión, la conclusión y además especifique cuál de las reglas de inferencia aplica para resolver el siguiente razonamiento: Si un haz fino de luz penetra en un gas en una cámara de niebla, entonces los fotones expulsan electrones de los átomos del gas. Si los fotones expulsan electrones de átomos de gas, entonces la energía de la luz se convierte en energía cinética de los electrones. CONCLUSIÓN: Entonces si un haz fino de luz penetra en un gas en una cámara de niebla, la energía de la luz se convierte en energía cinética de los electrones.

P = Si un haz fino de luz penetra en un gas en una cámara de niebla.

Q = Los fotones expulsan electrones de los átomos del gas.

R = La energía de la la luz se convierte en energía cinética de los electrones

[(p → q) ˄ (q →r)] → (p →r) REGLA DE INFERENCIA SILOGISMO HIPOTÉTICO

12. Aplicando las leyes del Álgebra de Boole, simplificar pqr' + pqr + pq'r

OPCION # 1 OPCION # 2

pqr’ + pqr + pq’r pqr’ + pqr + pq’r + pqr

pq (r ’+ r) + pq’r

...