TAREA 2 DE CÁLCULO SOLUCIONES
Kennedysvv99Ensayo6 de Septiembre de 2021
1.556 Palabras (7 Páginas)107 Visitas
TAREA 2 DE CÁLCULO[pic 1]
SOLUCIONES [pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
Finalmente
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
Finalmente
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
Finalmente
[pic 13]
[pic 14][pic 15]
- [pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Finalmente
[pic 21]
- [pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Agrupando términos que contengan la derivada de interés:
[pic 25]
[pic 26]
Finalmente:
[pic 27]
- [pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
Finalmente
[pic 33]
[pic 34][pic 35]
Para la parábola:
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
Evaluando en el punto dado: [pic 39]
La ecuación de la recta dado un punto y su pendiente es: [pic 40]
Sustituyendo los valores del punto y de la pendiente encontrada como la derivada, se tiene:
[pic 41]
Entonces, la ecuación buscada es:
[pic 42]
Probando para el punto dado:
[pic 43]
Para la circunferencia:
[pic 44]
Derivando respecto de x:
[pic 45]
Despejando la derivada y simplificando:
[pic 46]
Para el punto dado (4,4) la derivada en ese punto (la tangente o pendiente de la curva en ese punto) vale:
[pic 47]
La ecuación de la recta dado un punto y su pendiente es: [pic 48]
Sustituyendo los valores del punto y de la pendiente encontrada como la derivada, se tiene:
[pic 49]
Entonces, la ecuación buscada es:
[pic 50]
Probando para el punto dado:
[pic 51]
Para la hipérbola rotada:
[pic 52]
La derivada será:
[pic 53]
[pic 54]
Evaluando para el punto (1,1):
[pic 55]
La ecuación de la recta dado un punto y su pendiente es: [pic 56]
Sustituyendo los valores del punto y de la pendiente encontrada como la derivada, se tiene:
[pic 57]
[pic 58]
Entonces, la ecuación buscada es:
[pic 59]
Probando para el punto dado:
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
El volumen de una esfera se calcula por la expresión:
[pic 63]
Su razón de cambio puede calcularse si se conoce la derivada del radio respecto del tiempo (razón de cambio del radio), así:[pic 64][pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
Ya que se conoce , cuando tendremos:[pic 68][pic 69]
[pic 70]
Respuesta:
La razón de cambio del volumen es [pic 71]
b) Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada sobre una pared (ver figura). Su base se desliza por el terreno a razón de 2 pies por segundo. ¿A qué razón está bajando su extremo superior por la pared cuando la base está a 7 pies de la pared?
[pic 72]
Aplicando Pitágoras se tiene la relación entre la hipotenusa y los catetos, mismos que pueden ser denotados como sigue: hipotenusa – h, cateto adyacente – cat_ad y cateto opuesto – cat_o, como se muestra en la figura. Entonces, escribimos:
[pic 73]
[pic 74]
Como conocemos la hipotenusa (longitud de la escalera), podemos reescribir la relación como sigue, sustituyendo cat-ad por x y cat_o por y:
[pic 75]
La derivada de esta expresión será:
[pic 76]
Ya que es la incógnita del problema tendremos:[pic 77]
[pic 78]
Para responderá la pregunta se requiere además conocer el valor de y cuando x=7 pies. Así, por Pitágoras:
[pic 79]
Sustituyendo:
[pic 80]
O sea el extremo superior de la escalera se desliza con la velocidad
-0.5833, interpretando el signo menos como la dirección del deslizamiento hacia abajo [pic 81]
[pic 82]
[pic 83][pic 84]
Considerando que el rectángulo está centrado, el mismo queda formado por cuatro triángulos rectángulos iguales, como se muestra a continuación en la construcción auxiliar.
[pic 85]
De esta manera el área del rectángulo se puede calcular como sigue:
[pic 86]
La hipotenusa de los triángulos es el radio de la circunferencia, entonces podemos expresar el área en función del radio, conocido como r. Empleando Pitágoras: y el área queda expresada como una función de un solo parámetro (a)[pic 87]
[pic 88]
Aplicando derivación e igualando a cero el resultado, tendremos el valor del parámetro a que garantiza un extremo.
[pic 89]
[pic 90]
[pic 91]
[pic 92]
Elevando al cuadrado ambos miembros dela igualdad
;[pic 93]
[pic 94]
[pic 95]
[pic 96]
De donde
[pic 97]
Finalmente
[pic 98]
Sustituyendo en la expresión para b, tendremos
[pic 99]
[pic 100]
Entonces, las dimensiones de los lados del rectángulo que garantizan la mayor área son:
[pic 101]
[pic 102]
Y el área será igual a
[pic 103]
[pic 104]
[pic 105]
Para una empresa en libre competencia el ingreso marginal es igual al precio. Entonces se trata de encontrar para qué valor de el precio es máximo.[pic 106]
Determinando la derivada con respecto de , e igualando a cero, tendremos:[pic 107]
[pic 108]
[pic 109]
[pic 110]
[pic 111]
[pic 112]
[pic 113]
Derivando la expresión para la distancia del origen de la masa en movimiento tendremos:
[pic 114]
Igualando a cero esta derivada obtendremos el valor del parámetro t para el cual se obtiene un extremo de la función :[pic 115]
[pic 116]
[pic 117]
[pic 118]
Por la tabla de las funciones trigonométricas , entonces [pic 119]
[pic 120]
Sustituyendo en la expresión para la distancia del origen:
[pic 121]
[pic 122]
[pic 123][pic 124]
Para analizar la función y realizar un bosquejo de la misma se siguen los siguientes puntos:
- Determinar el dominio y el rango de la función.
- Determinar la dos primeras derivadas
- Determinar los puntos críticos, los valores de x para los cuales ƒ’(x) es cero.
- Determinar las regiones donde la función es creciente y dónde es decreciente
- Determinar los puntos de inflexión [pic 125]
- Determinar la concavidad
- Determinar los puntos principales
Análisis de la función polinómica: [pic 126]
Dominio. Como la función es un polinomio el dominio son todos los valores de y su rango son todos los valores de , o sea y [pic 127][pic 128][pic 129][pic 130]
Derivadas primera y segunda de la función
[pic 131]
[pic 132]
Puntos críticos
[pic 133]
[pic 134]
[pic 135]
[pic 136]
[pic 137]
[pic 138]
[pic 139]
[pic 140]
En estos puntos críticos (-1, 0, 2) la función puede tener extremos, a saber, máximo, mínimo o punto de inflexión.
Regiones donde la función crece o decrece analizando la primera derivada
...