TEMA: CALCULO DIFERENCIAL

CALCULO DIFERENCIAL

CONTENIDO

1. Límites de funciones y continuidad
2. Derivación de funciones y aplicaciones

1. Límites de funciones y continuidad

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El cálculo diferencial es un área de las matemáticas, específicamente del cálculo infinitesimal que permite modelar situaciones o fenómenos de la vida real que implican variaciones o movimientos, hallando la derivada de una magnitud respecto de otra de la que es función.

Y para llegar a concepto de derivación, primero debemos entender el concepto de límite.

1. Definición del límite de una función

Se escribe:

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Y se lee:  “El límite de f(x), cuando x se aproxima a a, es igual a L

Ejemplo:

Sea la función definida por

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Determinemos el comportamiento de la función para valores de x próximos a 2, pero no iguales a 2:

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Observamos que cuando nos aproximamos a 2, tanto por la derecha(2+) como por la izquierda(2 -), la función f(x) se acerca a 4. Es decir, el límite de la función

f(x) =x2 – x +2 cuando x se aproxima a 2 es 4, y se escribe:

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Ejercicio  1:  Estimar  el  valor  del  siguiente  limite  haciendo  tabla  de  valores. Comprobar el resultado con una grafica

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Ahora, preguntémonos: ¿Los límites siempre existen?

La respuesta es No necesariamente. Es posible que un límite no exista, y esto ocurre cuando la función no se aproxima a un número finito.

Como ejemplo tenemos:

1. Determinar

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Observamos que cuando x se acerca a 0, la expresión 1/x2 se hace cada vez más grande sin aproximarse a un número finito, de hecho tiende a infinito. Con ello se dice que su límite no existe.

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Analicemos ahora la siguiente función:

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Observemos que cuando t se aproxima a cero por la izquierda, H(t) se aproxima a cero. Y cuando t se aproxima a cero por la derecha, H(t) se aproxima a 1. Como estos valores son diferentes, se dice que el límite bilateral no existe.

Es decir:

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Ejercicio 2: Sea f la función definida por

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Graficar la función y según su gráfica, hallar:

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VIDEO LIMITES LATERALES:

https://www.youtube.com/watch?v=EYcwxYab0Qk

1. Calculo de límites de forma algebraica

Ahora se usaran métodos algebraicos mediante uso de leyes y propiedades para calcular los límites de las funciones, a diferencia del apartado anterior que se hacía por aproximación numérica y gráficamente.

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Ejemplos: Calcula el valor de los siguientes límites, aplicando las leyes anteriores

a)

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Solución:

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b)

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Solución:

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De los dos ejemplos anteriores podemos concluir que si f es polinomial o una función racional y a está en el dominio de f, entonces:

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Es decir, calculamos el límite por simple sustitución directa del número al que tiende x.

Casos especiales:

1. Calculo del límite por cancelación de factor común

Determinar el siguiente limite

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Observemos que no podemos calcular este límite por sustitución directa por que en ese valor la función no está definida, teniendo en cuenta que el

denominador  se  hace  cero.  Además  el  numerador  también  es  cero, dándonos una forma indeterminada 0/0.

Entonces, factorizando el denominador como una diferencia de cuadrados y cancelando el factor común arriba y abajo, tenemos:

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1. Calculo de limite por racionalización

Determinar el siguiente límite

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Si aplicamos sustitución directa, nos encontramos con que el denominador se hace cero. En este caso racionalizaremos el numerador:

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1. Calculo de límite de una función definida por tramos

Determinar si existe el siguiente limite

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Donde

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Para x > 4 tenemos que:

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Entonces

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Para x < 4 tenemos que: Entonces

Como los limites izquierdo y derecho son iguales, entonces concluimos que este límite si existe y es igual a cero

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