CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II TEMA Nº 9

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA Nº 9  (Ultima modificación 24-10-2013)

INTEGRALES CURVILINEAS, DE SUPERFICIE Y DE VOLUMEN

Solo consideraremos el caso de integrales curvilíneas a lo largo de curvas planas. Es decir curvas continuas que consisten en un número finito de arcos en cada uno de los cuales la tangente varía continuamente.

Sea z = f(x,y) una función y C una curva continua, que une los puntos A y B   (z= f(x,y) no tiene ninguna relación con la ecuación de la curva C y no es más que una función definida en cada punto de la porción de la curva C que se considera).

Divídase el arco de C entre A y B en “n” segmentos Δsi cuyas proyecciones sobre los ejes x e y son respectivamente Δxi ; Δyi y sean (ξi, ηi) las coordenadas de un punto cualquiera del segmento Δsi.

Realizamos ahora los siguientes productos:         f(ξi, ηi) . Δxi  ; f(ξi, ηi) . Δyi  ;  f(ξi, ηi) . Δsi  y hacemos las sumas para todas las subdivisiones del arco AB, luego tendremos

[pic 1][pic 2]

Los límites de estas sumas cuando cada Δsi ; Δxi ; Δyi tienden a cero, se llaman integrales curvilíneas y se escriben respectivamente:        

[pic 3]

En estas definiciones, Δxi ; Δyi son valores con signo, en tanto Δsi es intrínsecamente positivo.

Las siguientes propiedades:

[pic 4]      siendo C = constante

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Son igualmente válidas para las integrales curvilíneas de los dos primeros tipos, siempre que para cada fórmula la curva que une A con B siga siendo la misma.

Por otra parte las integrales del tercer tipo, si bien tienen las propiedades a) y b) no tienen la c)  ya que en efecto [pic 8] 

Además la propiedad d) vale para estas integrales sí y solo sí, P está entre A y B sobre el camino de integración.

Las integrales definidas ordinarias del cálculo elemental no son más que integrales curvilíneas en que la curva C es el eje x , y el integrando es una función de x solamente.

INTERPRETACION GRAFICA

Como en el caso de las integrales ordinarias, es posible interpretar una integral curvilínea como área. Si se piensa que z = f(x,y) define en el espacio una superficie. La superficie vertical que tiene por directriz el arco AB cortará a la superficie z = f(x,y) según una cierta curva PQ.

[pic 9]

El producto f(ξi, ηi) . Δsi es aproximadamente el área de la banda vertical de esta porción de superficie que se encuentra sobre la base elemental Δsi ; y la suma      [pic 10] es aproximadamente igual al área ABQP y en el límite la integral    ∫C f(x,y).ds , da está área exactamente.

De manera análoga, el producto f(ξi, ηi) . Δxi es aproximadamente el área de la proyección sobre el plano xz de la faja vertical de base Δsi , y la suma para i= 1 a n representa el área aproximada de esta proyección A'B'Q'P' sobre el plano xz, y la  ∫C f(x,y) dx ,  da esta área.

De igual modo se puede representar el área de la proyección de ABQP sobre el plano yz mediante la ∫C f(x,y).dy.

EJEMPLO

Calcular las integrales curvilíneas de la función z = f(x,y) = x + y + 1 sobre el camino dado por y = x entre los puntos A(1; 1) y B(3; 3).

Como la función f(x,y) = x + y + 1 representa un plano, la proyección del camino de integración y = x sobre este plano nos representa la recta PQ, con lo que nos queda formado el trapecio ABQP cuyas proyecciones sobre los planos xz e yz también representarán dos trapecios.

[pic 11]

Calculando las áreas de estos dos trapecios serán

[pic 12]

Calculemos ahora aplicando el concepto de integral curvilínea.

[pic 13] [pic 14]

[pic 15]     Esta integral la podemos calcular tanto para x como para y.

[pic 16] ya que dx=dy por ser x=y  luego

[pic 17]

resultado que concuerda con los que habíamos calculado anteriormente.

EXTENSION A FUNCIONES DE TRES VARIABLES

Los conceptos vistos anteriormente son fácilmente generalizados para funciones de tres variables. Sea u = f(x,y,z)  una función continua y sea C una curva continua que une los puntos A y B en el espacio.

Dividamos el arco AB en “n” subintervalos Δsi cuyas proyecciones sobre los ejes coordenados son Δxi ; Δyi ; Δzi y Pi (ξi ; ηi ; ℘i) un punto genérico de cada Δsi. Calculamos el valor de         u = f(x,y,z)  en cada uno de estos puntos Pi y se forman las sumas  

[pic 18]

Los límites de estas sumas al tender “n” a infinito de tal manera que la longitud de cada Δsi tienda a cero, define las respectivas integrales curvilíneas.

[pic 19]

INTEGRALES CURVILINEAS INDEPENDIENTES DEL CAMINO DE INTEGRACION

Una expresión de la forma P(x,y) dx + Q(x,y) dy es una diferencial exacta si existe una función U(x,y) tal que   [pic 20] 

En este caso la función U recibe el nombre de función potencial del par de funciones P(x,y) y Q(x,y). En este caso, decimos que la integral curvilínea ∫C P(x,y) dx + Q(x,y) dy es independiente del camino de integración.  Para que ello ocurra deberá ser

    [pic 21]   luego  [pic 22]

que nos muestra que este resultado es independiente del camino de integración y que solo depende de las coordenadas de los puntos extremos.

CIRCULACION

Si una fuerza f = f(x;y;z) = P(x;y;z) i + Q(x;y;z) j + R(x;y;z) k está definida en todos los puntos del espacio, o de un cierto recinto, tendremos un campo de fuerzas. También podemos considerar un campo de velocidades en el movimiento de un fluido o de intensidades en la conducción de electricidad, etc.

En general conviene considerar independientemente del vector f, un campo vectorial que puede darse mediante tres funciones P(x;y;z) ; Q(x;y;z) ; R(x;y;z). Estas funciones pueden también depender del tiempo t; si son independientes del tiempo el campo se define estacionario.

Si en el campo vectorial consideramos un arco de curva AB tendremos un vector del campo aplicado a cada uno de sus puntos y podremos considerar la integral curvilínea

∫AB P.dx + Q.dy + R.dz = ∫AB f.dP

 ya que   f = P.i + Q.j + R.k  y  dP = dx i + dy j +dz k

Esta integral curvilínea se llama circulación del vector f   a  lo largo del arco AB. En este caso de un campo de fuerzas, esta integral representa el trabajo de la fuerza f sobre una partícula que se desplaza a lo largo del arco AB.

CAMPOS CONSERVATIVOS

El cálculo de la circulación requiere en general conocer el camino y este en general no se conoce.

De esto surge la importancia de los campos conservativos que son aquellos en los cuales la circulación entre dos puntos no depende del camino que los une.

En tal caso, fijado el punto M0(x0;y0;z0), para cada punto M la circulación ∫M0MP.dx+Q.dy+R.dz=U(x;y;z) = U(M)  Esta función U representa el potencial del campo conservativo.

 Este potencial determina el campo ya que  [pic 23]

o sea que f = grad U de donde surge que la componente del campo conservativo en una dirección cualquiera es igual a la derivada del potencial en esa dirección.

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