Raices de numeros complejos

AVILES JUAREZ ULISES         1MV4

RAICES DE NUMEROS COMPLEJOS

A partir de la formula de Moivre es posible representar todas las raíces de la ecuación binomica

[pic 1]

Donde es un numero complejo cualquiera dado en forma trigonométrica. [pic 2]

 Sea   y tome la incógnita X también en forma trigonométrica   por consiguiente [pic 3][pic 4]

[pic 5]

Y esta ecuación es igual a . Por otra parte, ya que las números complejos iguales tienen módulos iguales, se tiene que R’’=r, en consecuencia [pic 6]

[pic 7]

Además los argumentos de números complejos iguales diferentes solamente en múltiplos de  de modo que [pic 8]

[pic 9]

Siendo K entero. Por lo tanto la formula que nos da las raíces X es

[pic 10]

En esta ecuación K es un entero cualquiera pero el numero de raíces distintas será solo n. Para obtenerlas basta tomar K=0,1,2,3,……..,n-1

RAICES DE LA UNIDAD 

La ecuación binomica particular  que define las así llamadas raíces de la unidad de grado n es un caso especial de la formula de la sección anterior. En este caso r=1 y , y los n raíces de la unidad se obtienen de la formula [pic 11][pic 12]

[pic 13]

Tomando ella k=0,1,2,3,……,n-1. Para k=0 tenemos una raíz evidente x=1.

Formula de Euler’s 

Si consideramos que la expansión de la serie infinita

[pic 14]

Es valido cuando x= se puede tener que [pic 15]

[pic 16]

Donde . este resultado es conocido como formula de Euler’s. es útil tomar(I) como una definición de  . En general definimos [pic 17][pic 18]

[pic 19]

Si y=0 entonces se reduce a . La formula de De Moivre en términos de (I) se reduce a [pic 20]

[pic 21]

Ejemplos

[1] resolver la ecuación

[pic 22]

Demostración

Este ejemplo será analizado paso a paso siguiendo el procedimiento con el cual establecimos la formula que nos permite obtener las raíces.

Para ellos vemos que X=X y A= se tiene que A en forma trigonométrica es [pic 23]

[pic 24]

Sea

[pic 25]

Por la formula de Moivre se tiene

[pic 26]

De donde

[pic 27]

Esto es

[pic 28]

Por lo tanto

[pic 29]

Si      K=1        [pic 30][pic 31]

Si      K=2        [pic 32][pic 33]

Si      K=3        [pic 34][pic 35]

Si      K=4        [pic 36][pic 37]

[2] resolver la ecuación

[pic 38]

Demostración se tiene que

[pic 39]

Entonces la formula para obtener las raíces es

[pic 40]

Tomando los valores K=0,1,2,3. Obtendremos los valores de las cuatro raíces

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