TRABAJO COLABORATIVO ALGEBRA LINEAL
Maira alejandra avila ospinoTrabajo15 de Noviembre de 2018
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TRABAJO COLABORATIVO ALGEBRA LINEAL
Participantes:
Profesor:
Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano
BOGOTÁ D.C
2018
ACTIVIDAD 1
4.1 Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes.
SISTEMA DE HILL
Este sistema está basado en el álgebra lineal y ha sido importante en la historia de la criptografía. Fue inventado por Lester S. Hill en 1929, y fue el primer sistema criptográfico polialfabético que era práctico para trabajar con más de tres símbolos simultáneamente. Este sistema es polialfabético pues puede darse que un mismo carácter en un mensaje a enviar se encripte en dos caracteres distintos del mensaje encriptado.
En primer lugar, se asocia cada letra del alfabeto con un número. La forma más sencilla de hacerlo es con la asociación natural ordenada, aunque podrían realizarse otras asociaciones diferentes.
4.2 Luego, describa el proceso (paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo “_” representa el espacio entre las palabras).[pic 1]
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | Ñ |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | _ | . | |
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
Para resolver la Actividad 1, lo primero que debemos hacer para encriptar el mensaje es darle el número correspondiente a cada letra de la palabra:
D | E | D | I | C | A | C | I | O | N |
3 | 4 | 3 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 15 | 13 |
Para este caso, son llamados matriz de 2 x 2, ¿por qué?, porque la matriz clave es de 2 x 2, y para su multiplicación deben ser agrupados en igual orden, entonces los agrupamos así:
[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]
Luego multiplicamos la matriz clave por cada vector, de esta forma:
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
Para el caso el resultado del numerador fue mayor a 29, los resultados mayores o iguales a 29 se deben reducir a módulo 29, ¿Por qué 29? Porque contamos con 28 números más el “0”, para un total de 29.[pic 12]
Mod29 =12 = [pic 13][pic 14]
Luego se convierte los números obtenidos en letras con el fin de cifrar el mensaje, haciendo la asignación de los números con las letras del abecedario del recuadro, quedando así:
11 | 4 | 19 | 8 | 2 | 0 | 18 | 8 | 12 | 13 |
L | E | S | I | C | A | R | I | M | N |
5. ACTIVIDAD 2
Suponga que se intercepta el mensaje .IBFQSZAGNZFVLNBVDFAVDLQ.FWSWY junto con este mensaje encriptado, solo se logró obtener la matriz clave
[pic 15]
La misión del grupo es:
5.1 Descifrar tal mensaje y detallar organizadamente todos los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje.
¿Es posible descifrar el mensaje con la información dada?
Utilizando la información que nos dan, lo primero que debemos hacer es encontrar el determinante de la matriz, eso como primer paso.
Utilizando las propiedades de la multiplicación de matrices por multiplicación de vectores vamos a encontrar si es posible descifrar el mensaje.
[pic 16]
Configurar una matriz que esta partida en dos piezas de igual tamaño. En el lado izquierdo, rellene los elementos de la matriz original. En el derecho rellene con los elementos de la matriz identidad. Para encontrar la matriz inversa, utilice operaciones para convertir el lado izquierdo de la matriz identidad. Tras hacer esto, la inversa de la matriz original estará en el lado derecho de la matriz doble.
[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]
Realiza la operación de filas
= EN (AHORA 1) para convertir a 1 algunos elementos en la fila[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
Reemplaza = para poder convertir algunos elementos de la fila de valor deseado 1.[pic 27][pic 28][pic 29]
[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]
5 2 1 0 1 0
2 1 1 0 0 1
= [pic 42][pic 43][pic 44]
Reemplaza (fila 1) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas = .[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]
. . . .[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]
5 2 1 0
2 1 1 0
= [pic 56][pic 57][pic 58]
Simplifica (fila 1).[pic 59]
[pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]
Realiza operaciones de filas = -5 . + en (ahora 2) para convertir a 0 algunos elementos en la fila.[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]
1 0 0[pic 70][pic 71][pic 72]
- - 1 0[pic 73][pic 74][pic 75]
2 1 1 0 0 1
Realiza la operación de filas.
= -2 . + en (ahora en 3) para convertir a 0 algunos elementos en la fila.[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]
...