Taller nº 4: Probabilidades y estadistica

TALLER Nº 4

PROBABILIDADES Y ESTADISTICA

(Ingeniería)

1. Se lanza una serie de cohetes hasta que se obtiene el primer lanzamiento exitoso. Si esto no se logra, el experimento continúa, caso contrario se detiene. Suponga que hay una probabilidad de 0,8 de obtener un lanzamiento exitoso y que los ensayos sucesivos son independientes.

a) Determinar la probabilidad de detener el experimento cuando el número de lanzamiento sea múltiplo de 3.

b) Si el jefe de pruebas decide detener el experimento al obtener 3 lanzamientos exitosos. Calcule la probabilidad de que se detenga el experimento al efectuar a lo menos cinco lanzamientos.

c) Un comprador de cohetes, recibe un lote de 50 unidades y este decide aceptar si al tomar una muestra de 5 cohetes y los lanza, a lo menos 2 resultan exitosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?

2. En una fábrica se examinan cada hora las piezas producidas por una máquina una a una hasta obtener una defectuosa. Si esto no se logra la máquina continúa su producción. Caso contrario se detiene el proceso para examinar la causa del defecto.

Supongamos que la máquina produce 1.5% de piezas defectuosas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se interrumpa el proceso al examinar la 5º pieza?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se interrumpa el proceso al examinar más de 3 piezas?.

c) Si se exigieran 3 piezas defectuosas para detener la producción. ¿Cuál será la probabilidad de detener el proceso al examinar 6 piezas?.

3. Se observa una fuente radiactiva durante 5 intervalos de 6 segundos de duración cada uno y se cuenta el número de partículas emitidas durante cada período.

Suponiendo que el número de partículas, digamos X, durante cada período observado tiene una distribución de Poisson con parámetro de intensidad 2,0 (es decir, las partículas son emitidas a razón de 0,3 partículas por segundo):

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean emitidas 3 o más partículas?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos en dos de los 5 intervalos de tiempo, sean emitidas 3 o más partículas?.

4. En una fábrica se va a evaluar la efectividad de un programa de seguridad que requiere que algunos trabajadores seleccionados al azar usen zapato de seguridad. Durante el período de prueba se encuentra que el 2% de los trabajadores usó zapatos de seguridad y sufrió lesiones en los pies. También encontró que el 46% no usó zapatos de seguridad ni tuvo lesiones en los pies; además de aquellos que usaron zapatos de seguridad el 5% tuvo lesiones en los pies.

a) Si se escogen 5 trabajadores al azar ¿Cuál es la probabilidad de que todos hayan usado zapatos de seguridad?.

b) Si se elige una muestra de 400 trabajadores ¿Cuál es la probabilidad de que a lo menos 3 hayan usado zapatos de seguridad y sufrido lesiones en los pies?.

c) De aquellos que tuvieron lesiones se escogen 10 al azar ¿qué probabilidad hay de que al menos 2 hayan usado zapatos de seguridad?.

5. El número de partículas emitidas por un trozo de material tiene una distribución de Poisson con intensidad 2. Un investigador expuesto a dicha radiación (sin saberlo) sufre trastornos visuales cuando radiación recibida supera la intensidad de emisión.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un investigador no sufra trastornos visuales cuando está expuesto a la radiación en el período antes señalado?.

b) Suponga que 10 investigadores disponen cada uno de trozo del mismo material para estudiar sus cualidades ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 de ellos sufran trastornos visuales?

6. Una muestra de 60 ampolletas se agrupan según potencia X y vida útil Y, obteniéndose los siguientes resultados:

Se sabe que el fabricante garantiza a sus clientes una duración mínima de 350 horas por ampolleta.

a) Si se eligen al azar 5 ampolletas ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 cumplan con la garantía?.

b) Si se eligen al azar ampolletas de 40 Wats hasta que 4 cumplen con la garantía ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario probar a lo menos 6 ampolletas ?

7. Se observa una fuente radiactiva durante intervalos de 10 segundos de duración cada uno y se cuenta el número de partículas emitidas durante cada periodo. Suponiendo que el número de partículas emitidas X, durante cada periodo observado sigue un modelo de Poisson con .

a) Determine la probabilidad de que de 7 intervalos observados, en 2 se emitan a lo más 4 partículas, en 3 se emitan más de 4 y menos de 8 partículas y en 2 se emitan a lo menos 8 partículas.

b) Si se observan intervalos de 10 segundos hasta que en 3 se emiten 8 o más partículas. Determine la probabilidad de observar a lo menos 6 intervalos.

8. Supongamos que la razón de neumáticos defectuosos en una fábrica es 4 en un millón de neumáticos fabricados en un mes.

a) Si los neumáticos se fabrican independientemente y mensualmente se producen 500000 neumáticos:

i) Determine la probabilidad de que a lo más 4 neumáticos resulten defectuosos en un mes.

ii) Determine la probabilidad de que en un año al menos en 2 meses resulten más de 4 neumáticos defectuosos.

b) Si se observa la producción de neumáticos mes a mes hasta que en 4 meses resultan a lo más 4 neumáticos defectuosos. Determine la probabilidad de tener que observar la producción de a lo menos 6 meses.

9. Sea X v.a. continua con la siguiente función de densidad

a) Determine el valor de A para que sea función de densidad de probabilidades.

b) Determine .

c) Calcule .

10. Una industria produce neumáticos cuya vida útil K (en kilómetros) se relaciona

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