Temas de Mate Binomio al cubo

Binomio al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x3 + 9x2 + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 =

= 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27

Ejemplos

1(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 =

= x3 + 6x2 + 12x + 8

2(3x − 2)3 = (3x)3 − 3 · (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 22 − 23 =

= 27x 3 − 54x2 + 36x − 8

3(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 ·5 + 3 · 2x · 52 + 53 =

= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

EJEMPLO 1: (Términos positivos)

x2  +  6x  +  9 = (x + 3)2

x                3

2.3.x

6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Con el "1")

x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

x            1

2.1.x

2x

Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1.

La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x.

El resultado es (x + 1)2

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con fracciones)

x2  +   8/3 x  +  16/9 = (x + 4/3)2

x                      4/3

2. 4/3. x

8/3 x

La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Con un término negativo)

x2   -  10x   +   25 = (x - 5)2

x                   (-5)

2.(-5).x

-10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto dá bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual a (x - 5)2.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Desordenado)

x     +     x2   +    1/4 = (x + 1/2)2

x          1/2

2.x.1/2

x

No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (Con un número multiplicando a la x2)

9x2  +  30x  +  25 = (3x + 5)2

3x                  5

2.5.3x

30x

Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 dá 9x2. En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Con potencias diferentes a "2")

x6  +  10x3  +  25 = (x3 + 5)2

x3                  5

2.x3.5

10x3

Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x4, por ejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por una propiedad de las potencias (potencia de potencia).

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 8: (Con varias letras diferentes)

4x2  +  4xa3  +  a6 = (2x + a3)2

2x                  a3

2.2x.a3

4xa3

En los dos términos que son "cuadrados" puede haber letras. Las dos deben ser "cuadrados", por supuesto. El término del medio también tendrá las 2 letras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

EJEMPLO 9: (Con números decimales)

0,09a6  +  1  -  0,6a3 = (0,3a3 - 1)2

0,3a3    (-1)

2.0,3a3.1

0,6a3

A los números decimales puedo pasarlos a fracción. O sino, sacarle la raíz cuadrada para saber de qué número son cuadrado. 0,09 es cuadrado de 0,3.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9

EJEMPLO 10: (La misma letra en los dos cuadrados)

25x6 +  10 x5   +    x4 = (5x3 + x2)2

5x3                       x2

2.5x3.x2

10x5

En un caso como éste, queda una multiplicación de potencias de igual base (x3.x2), y por lo tanto, hay que sumar los exponentes.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10

EJEMPLO 11: (Uno que tenga "todo")

1/4 b6  +  x4a2   -   x2ab3 =  (1/2 b3 - x2a)2

1/2 b3     -x2a

2. 1/2 b3.(-x2a)

-x2ab3

Desordenado, con varias letras, con término negativo, con fracciones, con potencias distintas de dos... Un ejemplo con casi todas las complicaciones que puede haber.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11

AVANZADOS: (Raramente se ve en el Nivel medio)

EJEMPLO 12: (Con números que no tienen raíz cuadrada "exacta")

x2  +  2  x  +  3 = (x +  )2

x

2.x.

2 x

El 3 no es cuadrado de ningún número entero. Pero... es cuadrado de  . Porque que ()2 es igual a 3. Entonces el caso se puede aplicar dejando "expresados" los radicales.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12

EJEMPLO 13: (Con los cuadrados "negativos")

-x2  +  6x  - 9 = - (x2   -   6x   +   9) = - (x - 3)2

x               (-3)

2.x.(-3)

-6x

Éste sería ya un "ejercicio combinado", porque primero hay que "sacar factor común" para que los "cuadrados" queden positivos. O sea que estaríamos aplicando dos casos de factoreo. El factor común que hay que sacar es -1. Aunque también podemos pensar simplemente así: "Le ponemos un menos adelante y cambiamos todos los signos de los términos".

¿Por qué se factoriza de esa manera?

Como en toda factorización, estamos buscando una expresión que sea equivalente al polinomio que nos dan, pero que sea una multiplicación (producto). Resulta que cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya que un binomio al cuadrado se resuelve con la fórmula:

(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2

"El cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado".

 Por ejemplo:

(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25

Como se ve, el resultado tiene 3 términos. Elevamos un polinomio de 2 términos, y obtenemos uno de 3.

Ahora, si tenemos un polinomio de 3 términos, podemos pensar al revés: "Este polinomio, ¿se podrá obtener elevando al cuadrado a algún binomio (polinomio de dos términos)?".

Eso es lo que hacemos cuando aplicamos este Caso: analizamos el "trinomio" que nos están dando, para comprobar si puede ser el resultado de haber elevado a algún "binomio". En nuestro ejemplo, el trinomio x2 + 10x + 25 vino de elevar al cuadrado a (x + 5), y por eso el resultado de la factorización sería (x + 5)2.

Ahora, si no sabemos "de dónde vino" ¿cómo lo averiguamos? Bueno, para eso "analizamos" el trinomio. Miremos en la fórmula:

a2 + 2.a.b + b2

¿Cómo son los términos de un trinomio que es cuadrado de algo? Y... hay dos términos que son cuadrados: a2 y b2. Y el que está en el medio es siempre "2 multiplicado por las dos bases" (los que están al cuadrado, es decir "a" y "b"), o sea: 2.a.b (" el doble producto de a y b"). Entonces, para ver si un trinomio es cuadrado perfecto, tengo que buscar que todo eso se cumpla: Que haya dos términos que sean "cuadrados", y luego un término que sea igual a multiplicar por 2 a las bases de esos cuadrados.

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