CURVAS Y REGIONES EN EL PLANO COMPLEJO.

CURVAS Y REGIONES EN EL PLANO COMPLEJO

Las curvas y regiones del plano complejo se utilizan con frecuencia en el análisis de sistemas.

Para su representación se hace uso de ecuaciones y desigualdades.

Recordemos que la distancia entre dos puntos puede ser representado como [pic 2][pic 1]

CIRCUNFERENCIA

Los puntos de una circunferencia z equidistan de su centro z0 una longitud igual a su radio r, de modo que [pic 3]

DISCO CIRCULAR

• Un Disco Circular Abierto es tal que:

   al interior de C[pic 4]

[pic 5]

• Un Disco Circular Cerrado es tal que:

   al interior de C[pic 6]

[pic 7]

Al Disco Circular Abierto también se le conoce como vecindad de , tal que una vecindad de   son todos los puntos   que satisfacen, [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Donde es  cualquier número positivo[pic 12]

EXTERIOR DE DISCO

El exterior de un círculo o disco, se representa como,

[pic 13]

[pic 14]

ANILLO CIRCULAR ABIERTO[pic 15]

Se denomina así a la región que se encuentra entre dos circunferencia de radio  y  con centro en .[pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

CIRCUNFERENCIA UNITARIA

 es una circunferencia unitaria con centro en el origen [pic 20]

[pic 21]

CONJUNTO DE PUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO

• En el plano complejo se distinguen varios tipos de conjuntos, principalmente por sus propiedades topológicas.
• Es cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano complejo.

Ejemplo: solución de una ecuación cuadrática

1. Entorno (Vecindad): Una vecindad de radio  de un punto  es el conjunto de todos los puntos  tales que  , donde    es cualquier número real positivo dado. Una vecindad reducida de radio  de un punto   , es el conjunto de los puntos  tales que .[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

1. Punto Interior: Un punto   es un punto interior de un conjunto S si existe algún entorno de  cuyos puntos están todos en S. [pic 31][pic 32]

1. Punto Exterior: Un punto  es un punto exterior de un conjunto S si existe algún entorno de  cuyos puntos no están en S.[pic 33][pic 34]

1. Punto de Frontera:

 es un punto de frontera de S si toda vecindad de  contiene puntos que pertenecen a S y puntos que no pertenecen a S.[pic 35][pic 36]

Si S es abierto, no tiene puntos frontera.

1. Punto de Acumulación (Punto Límite): Un punto    de un conjunto S se dice que es un punto de acumulación si todo -entorno punteado de   contiene al menos un punto de S. [pic 37][pic 38][pic 39]

- Como  puede ser cualquier número positivo, se deduce que S debe tener infinitos puntos. No es necesario que   esté en S para que   sea un punto de acumulación. En este caso   es un punto frontera. [pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

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