Teoria De Colas
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Teoría de Colas.
José Pedro García Sabater
Grupo ROGLE
Departamento de Organización de Empresas
Universidad Politécnica de Valencia.
Curso 2010 / 2011
Parte de estos apuntes está basado en la
fundamental obra “Fundamentals of Queueing
Theory” por Donald Gross y Carl Harris. Pero
también Factory Physics (Hopps and Spearman)
y Manufacturing Systems Modelling and
Analysis (Curry y Feldman) junto con un
pequeño aporte del que firma como autor han
contribuido.
Teoría de Colas
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Contenido
1. Introducción ..............................................................................................................................5
2. Descripción de un sistema de colas.............................................................................................5
2.1 Características de los sistemas de colas..............................................................................6
2.1.1 PATRÓN DE LLEGADA DE LOS CLIENTES ................................ 6
2.1.2 PATRONES DE SERVICIO DE LOS SERVIDORES....................... 6
2.1.3 DISCIPLINA DE COLA ................................................................... 7
2.1.4 CAPACIDAD DEL SISTEMA.......................................................... 7
2.1.5 NÚMERO DE CANALES DEL SERVICIO...................................... 7
2.1.6 ETAPAS DE SERVICIO................................................................... 8
2.1.7 RESUMEN........................................................................................ 8
2.2 Notación básica .................................................................................................................8
2.2.1 NOMENCLATURA.......................................................................... 8
2.3 Como medir el rendimiento de un sistema........................................................................10
2.4 Algunos resultados generales...........................................................................................11
2.4.1 RESULTADOS Y RELACIONES................................................... 11
2.5 Como recoger datos en un sistema de colas......................................................................12
2.6 Los procesos de Poisson y la distribución exponencial......................................................14
2.6.1 PROPIEDADES DEL PATRÓN DE LLEGADAS (O SERVICIO) POISSONEXPONENCIAL
............................................................................................ 14
2.6.2 GENERALIZACIONES AL PROCESO POISSON-EXPONENCIAL15
2.7 Procesos de nacimiento y muerte en el estado estacionario ...............................................16
2.8 Otras distribuciones. ........................................................................................................17
2.8.1 PRINCIPALES DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DE TIPO DISCRETO.
18
2.8.2 PRINCIPALES DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DE TIPO CONTINUO.
18
3. Modelos de colas simples.........................................................................................................20
3.1 El sistema M/M/1 ............................................................................................................20
3.2 Colas con servidores en paralelo M/M/C..........................................................................21
3.3 Colas con servidores en paralelo y limite de capacidad M/M/c/K......................................23
3.4 La fórmula de Erlang (M/M/C/C)....................................................................................25
3.5 Colas sin límites de servidores (M/M/) ........................................................................26
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3.6 Colas con límite en la fuente ............................................................................................26
3.7 Cuando el servicio depende del número de clientes ..........................................................27
3.8 Colas con impaciencia .....................................................................................................28
3.8.1 LOS QUE NO SE UNEN A LA COLA ........................................... 28
3.8.2 LOS QUE ABANDONAN .............................................................. 28
3.9 Aproximación a los Problemas G/G/c...............................................................................30
3.9.1 M/G/1.............................................................................................. 30
3.9.2 G/G/1 .............................................................................................. 30
3.9.3 G/G/C.............................................................................................. 31
3.10 Otras fuentes de variabilidad en el tiempo de servicio.......................................................31
3.10.1 FALLOS (AVERÍAS) Y REPARACIONES.................................... 32
3.10.2 INTERACCIÓN HOMBRE MÁQUINA. ........................................ 32
4. Series y Redes..........................................................................................................................33
4.1 Introducción ....................................................................................................................33
4.2 Colas en serie ..................................................................................................................35
4.3 “Redes de Jackson abiertas”.............................................................................................36
4.3.1 “REDES DE JACKSON ABIERTAS CON MÚLTIPLES TIPOS DE CLIENTES”
37
4.4 “Redes de Jackson cerradas”............................................................................................37
4.4.1 EL ANÁLISIS DEL VALOR MEDIO............................................. 38
5. Simulación...............................................................................................................................41
5.1 Elementos de un Modelo de Simulación...........................................................................41
5.2 Modelización de las Entradas...........................................................................................42
5.3 Análisis de Resultados.....................................................................................................42
5.4 Validación del Modelo.....................................................................................................43
6. Problemas................................................................................................................................44
6.1 Encargado de Bibliotecas.................................................................................................44
6.2 Mantenimiento de Coches................................................................................................44
6.3 Comidas Rápidas.............................................................................................................44
6.4 Coordinación de transmisiones.........................................................................................45
6.5 Sucursal Bancaria ............................................................................................................45
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6.6 Mantenimiento de Maquinaria .........................................................................................46
6.7 Alquiler de Ordenadores..................................................................................................46
6.8 Lavadero de Coches.........................................................................................................46
6.9 Dimensionando el Puerto.................................................................................................47
6.10 Central Telefónica ...........................................................................................................47
6.11 Cursos OnLine.................................................................................................................48
6.12 Mantenimiento Dispensadores .........................................................................................48
6.13 Peluquería Maripuri.........................................................................................................48
6.14 Dispensario Gratuito........................................................................................................48
6.15 Estación ITV ...................................................................................................................49
6.16 Mantenimiento de Robots................................................................................................49
6.17 Puliendo motores.............................................................................................................49
6.18 Nuevo concepto de supermercado....................................................................................50
6.19 Centralita Telefónica .......................................................................................................50
6.20 Mantemiento ...................................................................................................................51
6.21 Reparaciones Electrónicas ...............................................................................................51
6.22 Restaurante Chino Gran Muralla......................................................................................51
6.23 Aglomerados JPK............................................................................................................52
6.24 Ascensores PKJu .............................................................................................................56
6.25 Juguetes KP.....................................................................................................................58
6.26 Mejora de Un Servicio de Atención Telefónico ................................................................62
6.27 Colas en el parque de atracciones. ....................................................................................64
6.28 Automatismos JCP.........................................................................................................66
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1. Introducción
Todos hemos experimentado en alguna ocasión la sensación de estar perdiendo el tiempo al
esperar en una cola. El fenómeno de las colas nos parece natural: esperamos en el coche al estar en un
tapón, o un semáforo mal regulado, o en un peaje; esperamos en el teléfono a que nos atienda un
operador y en la cola de un supermercado para pagar....
Generalmente como clientes no queremos esperar, los gestores de los citados servicios no quieren
que esperemos.... ¿Por qué hay que esperar?
La respuesta es casi siempre simple, en algún momento la capacidad de servicio ha sido (o es)
menor que la capacidad demandada. Esta limitación se puede eliminar invirtiendo en elementos que
aumenten la capacidad. En estos casos la pregunta es: ¿Compensa invertir?
La teoría de colas intenta responder a estas preguntas utilizando métodos matemáticos analíticos.
2. Descripción de un sistema de colas
Un sistema de colas se puede describir como: “clientes” que llegan buscando un servicio,
esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casos
se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar.
El término “cliente” se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede
significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir
en una impresora en red.
Figura 1 Un sistema de cola básico
Aunque la mayor parte de los sistemas se puedan representar como en la figura 1, debe quedar
claro que una representación detallada exige definir un número elevado de parámetros y funciones.
La teoría de colas fue originariamente un trabajo práctico. La primera aplicación de la que se
tiene noticia es del matemático danés Erlang sobre conversaciones telefónicas en 1909, para el cálculo
de tamaño de centralitas. Después se convirtió en un concepto teórico que consiguió un gran
desarrollo, y desde hace unos años se vuelve a hablar de un concepto aplicado aunque exige un
importante trabajo de análisis para convertir las fórmulas en realidades, o viceversa.
servicio
clientes que
abandonan
clientes
llegando
clientes
servidos
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2.1 Características de los sistemas de colas
Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un
sistema de colas:
a) Patrón de llegada de los clientes
b) Patrón de servicio de los servidores
c) Disciplina de cola
d) Capacidad del sistema
e) Número de canales de servicio
f) Número de etapas de servicio
Algunos autores incluyen una séptima característica que es la población de posibles clientes.
2.1.1 Patrón de llegada de los clientes
En situaciones de cola habituales, la llegada es estocástica, es decir la llegada depende de una
cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribución probabilística entre dos
llegadas de cliente sucesivas. Además habría que tener en cuenta si los clientes llegan independiente
o simultáneamente. En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habría que definir la distribución
probabilística de éstos.
También es posible que los clientes sean “impacientes”. Es decir, que lleguen a la cola y si es
demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan abandonar.
Por último es posible que el patrón de llegada varíe con el tiempo. Si se mantiene constante le
llamamos estacionario, si por ejemplo varía con las horas del día es no-estacionario.
2.1.2 Patrones de servicio de los servidores
Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle,
para definirlo, una función de probabilidad. También pueden atender en lotes o de modo individual.
El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en la cola, trabajando
más rápido o más lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes. Al igual que el
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patrón de llegadas el patrón de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo
transcurrido.
2.1.3 Disciplina de cola
La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos
de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO
(atender primero a quien llegó primero) Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la
disciplina LIFO (atender primero al último). También es posible encontrar reglas de secuencia con
prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas con menor duración o según tipos de
clientes.
En cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la primera, llamada
en inglés “preemptive”, si un cliente llega a la cola con una orden de prioridad superior al cliente que
está siendo atendido, este se retira dando paso al más importante. Dos nuevos subcasos aparecen: el
cliente retirado ha de volver a empezar, o el cliente retorna donde se había quedado. La segunda
situación es la denominada “no-preemptive” donde el cliente con mayor prioridad espera a que acabe
el que está siendo atendido.
2.1.4 Capacidad del sistema
En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en
la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser
considerada como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.
2.1.5 Número de canales del servicio
Es evidente que es preferible utilizar sistemas multiservidos con una única línea de espera para
todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos, se
habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas
independientes se asemeja a múltiples sistemas con sólo un servidor.
En la figura 1 se dibujó un sistema mono-canal, en la figura 2 se presenta dos variantes de
sistema multicanal. El primero tiene una sóla cola de espera, mientras que el segundo tiene una sola
cola para cada canal.
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Fig. 2 Sistemas de cola multicanal
Se asume que en cualquiera de los dos casos, los mecanismos de servicio operan de manera
independiente.
2.1.6 Etapas de servicio
Un sistema de colas puede ser unietapa o multietapa. En los sistemas multietapa el cliente
puede pasar por un número de etapas mayor que uno. Una peluquería es un sistema unietapa, salvo
que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por
un servidor diferente.
En algunos sistemas multietapa se puede admitir la vuelta atrás o “reciclado”, esto es habitual
en sistemas productivos como controles de calidad y reprocesos.
Un sistema multietapa se ilustra en la figura.3
Figura 3: Sistema Multietapa con retroalimentación.
2.1.7 Resumen
Las anteriores características bastan, de modo general, para describir cualquier proceso.
Evidentemente se puede encontrar una gran cantidad de problemas distintos y, por tanto, antes de
comenzar cualquier análisis matemático se debería describir adecuadamente el proceso atendiendo a
las anteriores características.
Una elección equivocada del modelo lleva a unos resultados erróneos, y en muchos casos no
analizar adecuadamente nos puede llevar a pensar que el sistema no es posible de modelar.
2.2 Notación básica
2.2.1 Nomenclatura
= Número de llegadas por unidad de tiempo
= Número de servicios por unidad de tiempo si el servidor está ocupado
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c= Número de servidores en paralelo
c
: Congestión de un sistema con parámetros: (,, c)
N(t): Número de clientes en el sistema en el instante t
Nq(t): Número de clientes en la cola en en el instante t
Ns(t): Número de clientes en servicio en el instante t
Pn(t): Probabilidad que haya n clientes en el sistema en el instante t=Pr{N(t)=n}
N: Número de clientes en el sistema en el estado estable
Pn : Probabilidad de que haya n clientes en estado estable Pn=Pr{N=n}
L : Número medio de clientes en el sistema
Lq : Número medio de clientes en la cola
Tq : Representa el tiempo que un cliente invierte en la cola
S : Representa el tiempo de servicio
T = Tq+S: Representa el tiempo total que un cliente invierte en el sistema
Wq= E[Tq]: Tiempo medio de espera de los clientes en la cola
W=E[T]: Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema
r: número medio de clientes que se atienden por término medio
Pb: probabilidad de que cualquier servidor esté ocupado
Tabla 2: Nomenclatura básica
Con el paso del tiempo se ha implantado una notación para representar los problemas de colas
que consta de 5 símbolos separados por barras.
A / B / X /Y / Z
A: indica la distribución de tiempo entre llegadas consecutivas
B: alude al patrón de servicio de servidores
X: es el número de canales de servicio
Y: es la restricción en la capacidad del sistema
Z: es la disciplina de cola
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En la tabla 1 se presenta un resumen de los símbolos más utilizados.
Característica Símbolo Explicación
Distribución de tiempos de
llegada (A)
Distribución de tiempos de
servicio (B)
M
D
Ek
Hk
PH
G
Exponencial
Determinista
Erlang tipo-k (k=1,2,...)
Mezcla de k exponenciales
Tipo fase
General
Número de servidores 1,2,...,
Disciplina de cola FIFO
LIFO
RSS
PR
GD
Servir al primero que llega
El último que llega se sirve
primero
Selección aleatoria de servicio
Prioridad
Disciplina general
Tabla 1 Simbología de la notación
El símbolo G representa una distribución general de probabilidad, es decir, que el modelo
presentado y sus resultados son aplicables a cualquier distribución estadística (siempre que sean
Variables IID- Independientes e Idénticamente Distribuidas).
Si no existe restricción de capacidad (Y = ) y la política de servicio es FIFO, no se suelen
incorporar dichos símbolos en la notación así:
M/D/3 es equivalente a M/D/3//FIFO
y significa que los clientes entran según una distribución exponencial, se sirven de manera
determinista con tres servidores sin limitación de capacidad en el sistema y siguiendo una estrategia
FIFO de servicio.
La notación anteriormente representada, por general, deja demasiados casos por resolver, pero
es suficiente para los casos más importantes.
2.3 Como medir el rendimiento de un sistema
La tarea de un analista de colas puede ser de dos tipo: a) establecer mecanismos para medir la
efectividad del sistema o b) diseñar un sistema “óptimo” (de acuerdo a algún criterio).
Diseñar eficientemente consiste, básicamente, en definir un sistema cuyo coste (de diseño y de
operación) se justifique por el servicio que da. Dicho servicio se puede evaluar mediante el coste de
“no darlo”. De este modo al diseñar se pretende minimizar unos supuestos costes totales.
A partir de los datos que nos suministra la teoría de colas se puede obtener la información
necesaria para definir el número de asientos necesarios en una sala de espera, o la estructura de etapas
de un proceso de atención al cliente.
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En cualquier caso, para poder tomar decisiones hacen falta datos que la teoría de colas puede
dar en alguno de los siguientes tres aspectos:
a) tiempo de espera (en el total del sistema o en la cola)
b) cantidad de clientes esperando (en el sistema o en las colas)
c) tiempo ocioso de los servidores (total o particular de cada servicio)
2.4 Algunos resultados generales
Se presentan en este apartado algunos resultados y relaciones para problemas G/G/1 o G/G/c.
Estos resultados son válidos para cualquier problema de colas y por tanto serán utilizados en el
resto de desarrollo.
2.4.1 Resultados y relaciones
Si 1 el sistema tenderá a crecer inexorablemente.
El número de clientes en el instante t, n(t), es el número de llegadas que han ocurrido hasta t
menos el número de servicios completados hasta t.
El número medio de clientes en el sistema y en la cola se puede calcular de diferentes maneras:
n 0
L E n n pn
n c 1
q q Pn L E n n c
Little, en su famosa fórmula, establece una relación entre la longitud de la cola y el tiempo de
espera:
L= W
Lq = Wq
El tiempo de estancia de un cliente en el sistema se relaciona con el tiempo de espera de un
cliente en la cola,
1 W Wq
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El número de clientes que por término medio se están atendiendo en cualquier momento es:
r L L
q W Wq
En un sistema de un único servidor:
0
1 1 1
L L n p (n 1) p p 1 p
n
n n
n n
q
n
La probabilidad de que un sistema de un único servidor esté vacío es p0=1-
La probabilidad de que un servidor (de un sistema de c servidores en paralelo) esté ocupado en
el estado estable es:
c
pb
El tiempo de estancia del cliente (i+1) en la cola es:
0 0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
i i i
q
i i i
q
i i i
q i
q
si W S T
W S T si W S T
W
donde S(i) es el tiempo de servicio del cliente i, y T(i) es el tiempo que transcurre desde la
llegada del cliente y hasta la llegada del cliente (i+1)
2.5 Como recoger datos en un sistema de colas
A priori se puede pensar que el método más adecuado para recoger datos al analizar un sistema
es establecer una plantilla y recoger los datos sobre el sistema cada cierto tiempo. Esta técnica es
“orientada al tiempo”
Es mejor, sin embargo, utilizar una técnica de recogida de información asociada a eventos.
“La información se recoge cuando algo ocurre”
En una cola convencional los únicos datos a recoger son:
a) cada cuánto llega un cliente
b) cuánto se tarda en servir a cada cliente
No es necesario recoger más información para, a partir de las relaciones expuestas en el
apartado anterior, definir cualquier medida de efectividad.
Ejemplo
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Sea un sistema G/G/1. Sean los siguientes datos de entrada:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tiempo entre llegadas entre i+1 e i 2 1 3 1 1 4 2 5 1 2 2 -
Tiempo de servicio al cliente 1 3 6 2 1 1 4 2 5 1 1 3
De la tabla anterior se puede extraer la siguiente información:
Reloj
(t)
Entrada/sa
lida
del cliente
i
Tiempo en
que el cliente
i entra en
servicio
Tiempo en
que el cliente
i sale del
servicio
Tiempo
en
la cola
Tiemp
o en el
sistem
a
Tamaño de
colas
después de
t
Clientes en
el sistema
después de
t
0 1-E 0 1 0 1 0 1
1 1-S 0 0
2 2-E 2 5 0 3 0 1
3 3-E 5 11 2 8 1 2
5 2-S 0 1
6 4-E 11 13 5 7 1 2
7 5-E 13 14 6 7 2 3
8 6-A 14 15 6 7 3 4
11 3-D 2 3
12 7-A 15 19 3 7 3 4
13 4-D 2 3
14 8-A;5-D 19 21 5 7 2 3
15 6-D 1 2
19 P-A;7-D 21 26 2 7 1 2
20 10-A 26 27 6 7 2 3
21 8-D 1 2
24 11-A 27 28 3 4 2 3
26 12-A;9-D 28 31 2 5 2 3
27 10-D 1 2
28 11-D 0 1
31 12-D 0 0
A partir de la anterior información obtenida se puede decir que:
31
12 clientes por unidad de tiempo
30
12
clientes por unidad de tiempo
El tiempo medio de estancia en la cola es de
12
40
El tiempo medio de estancia en el sistema es de
12
70
De aquí y a partir de la fórmula de Little
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31
40
12
40
31
12
31
70
12
70
31
12
Lq Wq
L W
2.6 Los procesos de Poisson y la distribución
exponencial
La mayor parte de los modelos de colas estocásticas asumen que el tiempo entre diferentes
llegadas de clientes siguen una distribución exponencial. O lo que es lo mismo que el ritmo de llegada
sigue una distribución de Poisson*
.
En esta sección se verán las características de una distribución de Poisson y como se relacionan
con la distribución exponencial. Posteriormente se analizan las más importantes propiedades y algunas
generalizaciones al adoptar tal patrón de llegadas. Se cierra el apartado con argumentos que apoyan el
uso de la distribución de Poisson. Adoptar la distribución de Poisson implica que la probabilidad de
que lleguen n clientes en un intervalo de tiempo t es:
t
n
n
e
n
t
p t
!
( )
( )
El tiempo entre llegadas se define, de este modo, como la probabilidad de que no llegue ningún
cliente:
t
p t e
0
( )
siendo por tanto una distribución exponencial.
2.6.1 Propiedades del Patrón de llegadas (o servicio) PoissonExponencial
El uso de este patrón de llegada (o de servicio) tiene, entre otras las siguientes propiedades:
P1 El número de llegadas en intervalos de tiempo no superpuestos es estadísticamente
independiente
* Es habitual también admitir que el ritmo de atención de cliente cuando el servidor está ocupado tiene
una distribución de Poisson y la duración de la atención al cliente una distribución exponencial.
Teoría de Colas
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P2 La probabilidad de que una llegada ocurra entre el tiempo t y t+t es t+o(t), donde
es la tasa de llegada y o(t) cumple
( ) lim 0
t o
o t
t
. De hecho o(t) se podría entender
como la probabilidad de que llegue más de uno.
P3 La distribución estadística del número de llegadas en intervalos de tiempo iguales es
estadísticamente equivalente
e t s t s
n
t s
P t s
t s
n
n
, 0,
!
( )
( )
( )
P4 Si el número de llegadas sigue una distribución de Poisson el tiempo entre llegadas sigue
una distribución exponencial de media (1/) y al contrario
t
o
t
n
n
e P t e
n
t
P t
( )
!
( )
( )
P5 Si el proceso de llegada es Poisson, los tiempos de llegada son completamente aleatorios
con una función de probabilidad uniforme sobre el periodo analizado.
k k
T
k
f t t t k llegadas en T
!
( , ,..., / 0, )
1 2
P6 Para conocer los datos que definen un proceso de Poisson solo es necesario conocer el
número medio de llegadas
P7 Amnesia de la Distribución exponencial: La probabilidad de que falten t unidades para
que llegue el siguiente cliente es independiente de cuanto tiempo llevamos sin que llegue
ningún cliente.
Pr T 1/T t
0 Pr0 T t
1 t
0
2.6.2 Generalizaciones al Proceso Poisson-Exponencial
a) Variabilidad de
Se puede admitir que varíe con el tiempo. En este caso
t
o
n
m t
n m t s ds
n
m t
P t e , ( ) ( )
!
( ( )) ( )
( )
b) Llegadas múltiples
Teoría de Colas
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Se puede admitir que en cada evento de llegada aparezcan i clientes, donde:
n
i
i
1
En este caso la probabilidad de que en el instante t hayan aparecido m clientes es:
( )
!
( )
( )
k
m
k
t
r
c
k
t
P N t m e
donde (k )
m
c es la probabilidad de que k ocurrencias den un resultado total de m clientes.
2.7 Procesos de nacimiento y muerte en el estado
estacionario
Un proceso estocástico es la abstracción matemática de un proceso empírico, cuyo desarrollo
está gobernado por alguna ley de probabilidad.
Desde el punto de vista de la teoría de probabilidades, un proceso estocástico se define como
una familia de variables aleatorias {X(t),tT} definidas sobre un horizonte T. X(t) es el estado del
sistema.
Se dice que un proceso estocástico {X(t),t=0,1,...} es un proceso de Markov si, para cualquier
conjunto de n instantes t1<t2<...<tn, la distribución de X(t) depende únicamente del valor de X(tn-1). Es
decir:
“ Dada la situación presente, el futuro es independiente del pasado y el proceso carece
de memoria”
Una cola, con proceso de llegada Poisson-Exponencial de media , y con proceso de servicio
Poisson-Exponencial de media , se puede modelizar como una cadena de Markov continua, donde
en cada intervalo infinitesimal de tiempo puede ocurrir un nacimiento (llegada) o una muerte (salida)
1 ( , ) ( ) 1
1 ( , ) ( ) 0
P n n en t t t t o t n
P n n en t t t t o t n
r n
r n
Al representar las anteriores probabilidades se ha considerado que las tasas de llegada y de
servicio ( y respectivamente) dependen del número de elementos en el sistema.
Una representación gráfica de un fragmento de la cadena de Markov generada es la
representada en la siguiente figura:
Teoría de Colas
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Figura 4: Fragmento de cadena de Markov
Es interesante conocer las probabilidades en el estado estacionario de que haya n elementos en
el sistema. n elementos en el sistema se refleja porque la cadena de Markov está en el estado n.
En situación estacionaria, se puede decir que el “balance de flujo” alrededor del estado n debe
ser 0 (sino no sería estable). Así las probabilidades de entrada en el estado n , deben ser iguales a la
probabilidad de las salidas:
n 0 nPn nPn n1Pn1 n1Pn1
En el origen
0P0 1P1
De las anteriores ecuaciones se puede extraer que:
n
i i
i Pn P
1
1
0
y dado que
1
0
n
i
Pi
se puede calcular
1 1
1
0
1
1
n
n
i i
i
P
Aunque la resolución de las anteriores ecuaciones parece complicada, no es estrictamente
necesario conocer cómo se puede resolver para poderlas aplicar. Sólo en el caso de que nuestra
realidad no sea aplicable a un problema ya resuelto deberíamos profundizar en los diferentes métodos
que permiten resolver nuestro problema.
...