Teoría De Colas

Índice.

Resumen Ejecutivo. 2

Introducción. 3

Origen. 4

Descripción. 4

Objetivos. 5

Elementos en un modelo de colas. 5

Clasificación de los sistemas de cola. 8

Notación Kendall 11

Variedad de colas 12

Modelo A: M/M/1 13

Nomenclatura – Formulas Modelo A: M/M/1. 13

Modelo B: M/M/S 14

Nomenclatura – Formulas Modelo B: M/M/S. 14

Modelo C: M/D/1 15

Nomenclatura - Formulas Modelo C: M/D/1. 15

Modelo D: Modelo de Población limitada 16

Nomenclatura – Formulas Modelo D. 16

Ejercicios. 17

Conclusión. 20

Resumen Ejecutivo.

El enfoque principal de este trabajo “Teoría de Colas, herramienta de optimización” es demostrar de manera teórica y práctica mediante ejercicios, las bondades de esta disciplina que dentro de la investigación de operaciones busca principalmente Minimizar los costos y maximizar las utilidades, siendo este un objetivo que se establece en todas las empresas para obtener la mayor rentabilidad posible. Un factor determinante para el logro de éste objetivo es el buen uso de los recursos para satisfacer las necesidades de los clientes.

En el presente informe se da a conocer de forma esquemática y textual, los tipos de colas, su estructura, la metodología para el análisis de los modelos, sus componentes y comportamientos que pueden ser modelados a través de las matemáticas, con las cuales se puede llegar a evaluar el funcionamiento de un servicio o proceso, además de garantizar en forma cuantitativa y cualitativa los costos y la calidad del servicio.

Finalmente, se detalla de forma práctica los dos tipos de sistemas: Básico y Multifase, incluyendo la notación de Kendall para que mediante la resolución de las ecuaciones podamos dar respuesta a las distintas interrogantes que se nos presentan y que pudiesen servirnos para una eventual toma de decisiones, principalmente en la optimización de un servicio.

Introducción.

En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.

Todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc.

Origen.

El matemático, estadístico e ingeniero Agner Krarup Erlang, nacido en Dinamarca ente 1878 y 1929, trabajador de la Copenhagen Telephone Exchange, publicó el primer artículo sobre la teoría de colas en 1909. Específicamente enfocado a analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague.

Descripción.

La teoría de colas es una disciplina, dentro de la investigación de operaciones, que tiene por objeto el estudio y análisis de situaciones en las que existen entre los que demandan cierto servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfecho instantáneamente, por lo cual se provocan esperas todo lo anterior dentro de un sistema. Se trata así de una teoría que encuentra aplicación en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y logística, telecomunicaciones, etc.

Objetivos.

Los objetivos de la teoría de colas consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el costo global del mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el costo total del mismo.

Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costos y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

Elementos en un modelo de colas.

Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aun siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.

La fuente posee tres características, las cuales son:

Tamaño. Finita o infinita.

Entrada o Fuente. Programada o Aleatoria.

Comportamiento. Tiempos de llegada: Deterministas o Probabilistas.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t_1<t_2<⋯será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos:t {K}= t_K- t_(K-1), fijando su distribución de probabilidad.

Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los t_K (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los t_Kvariará según el número de clientes en proceso de ser atendidos.

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma

Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in firstout), también llamada FCFS (First come firstserverd): según la cual se atiende primero al cliente que haya llegado antes.

La disciplina LIFO (last in firstout), también llamada LCFS (Last come firstserverd): según la cual consiste en atender primero al cliente que haya llegado último.

La disciplina RSS (randomselection of service), o SIRO (service in randomorder), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.

Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

La cola: propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio.

Clasificación de los sistemas de cola.

Para que se produzca el sistema de cola se deban dar los siguientes supuestos:

El sistema de cola existe siempre y cuando, el número de entidades es mayor al número de servidores.

La tasa de llegada (x) y la tasa de servicio (µ) deben darse en proceso poissoniano, es decir las llegadas se da según la distribución poisson y el tiempo de servicios sigue una distribución exponencial.

P(x)=(〖 μ〗^x 〖 e〗^(-μ))/x!

Tasa de Servicio (μ): Numero de entidades promedio que pueden ser atendidas por el servidor en un lapso de tiempo.

Tasa de llegada (x): Numero de entidades promedio que ingresan al sistema en un lapso de tiempo.

La tasa de servicio

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