Teoria De La Probabilitat I Variables Aleatòries

Tenint en compte la distribució de probabilitat següent:

Xi 0 1 2 3 4

fx(xi) 0,1 0,3 0,3 0,2 0,1

Es demana que:

Comproveu que es tracta d’una distribució de probabilitat.

Es tracta d'una distribució de probabilitat perquè la probabilitat de cadascun dels esdeveniments de la funció pren valors positius entre 0 i 1. La probabilitat de l'esdeveniment segur és igual a 1. Σ f(xi)=1

Expresseu la funció de distribució Fx(x).

Xi f(Xi) F(x)

0 0,1 0,1

1 0,3 0,4

2 0,3 0,7

3 0,2 0,9

4 0,1 1

0 xi < 0

0,1 0 ≤ xi < 1

F(xi) 0,4 1 ≤ xi < 2

0,7 2 ≤ xi < 3

0,9 3 ≤ xi < 4

1 xi ≥ 4

Calculeu P(X=3,1) i P(1 ≤X≤3,5).

P(X=3,1)= 0

P(1 ≤X≤3,5)= 0,3+0,3+0,2= 0,8

Calculeu E(X), Var(X), la σ i la mediana.

E(X) = 0×0,1+1×0,3+2×0,3+3×0,2+4×0,1= 1,9

Var(X) = 4,9-〖1,9〗^2= 1,29

E(x^2) = 0^2×0,1+1^2×0,3+2^2×0,3+3^2×0,2+4^2×0,1= 4,9

σ = √1,29= 1,135782

Mediana = 2

Exercici 2

La funció de densitat d’una variable aleatòria és la següent:

fx(x)= k(1+x) si -1 ≤ x ≤ 1

fx(x)= 0 en cas contrari

Trobeu el valor de k per tal que fx(x) sigui una funció de densitat.

∫_(-1)^1▒〖 (k+kx)dx〗=[kx+k x^2/2]_(-1)^1=[k+k/2]-[k(-1)+k (-1)^2/2]=[k+k/2]-[-k+ k/2]=k+k/2+k-k/2=2k

Busquem el valor de la k que faci que 2k=1

2k=1  k= 1/2=0,5

fx(x)= 0,5 (1+x) = 0,5+0,5x si -1 ≤ x ≤ 1

fx(x)= 0 en cas contrari

Calculeu la funció de distribució Fx(x).

∫_(-1)^x▒〖0,5(1+x)dx〗=∫_(-1)^x▒〖(0,5+0,5x)dx=〗 [0,5x+0,5 x^2/2]_(-1)^x=[0,5x+0,5 x^2/2]-[0,5(-1)+0,5 (-1)^2/2]=[0,5x+0,5 x^2/2]- [0,25]=0,25x^2+0,5x+0,25

0 x < -1

0,25x^2+0,5x+0,25 si -1 ≤ x ≤ 1

1 x > 1

Calculeu P(-2 ≤ X ≤ 0,75), P(X>0) i P(X=0,75).

P(-2≤X ≤0,75)= F(0,75) – F(-2)= [0,25×〖0,75〗^2 + 0,5×0,75+0,25]- 0= 0,7656

P(X>0)= 1-F(0)= 1-[0,25×0+0,5×0+0,25]= 0

P(X=0,75)= 0

Calculeu E(X), Var(X), la σ i la mediana.

E(x)= ∫_(-1)^1▒〖x× 0,5(1+x) dx〗=∫_(-1)^1▒〖(0,5x+〖0,5x〗^2) dx=〗 [0,5 x^2/2+0,5 x^3/3]_(-1)^1=[0,5 1/2+0,5 1/3]-[0,5+(-1)^2/2+0,5 (-1)^3/3]= 0,416 ̂-0,083 ̂=0,3 ̂

Var(x)= E(x^2) – [E〖(x〗^2)]^2= 0,3 ̂-[0,3 ̂ ]^2=0,2 ̂

E(x^2)= ∫_(-1)^1▒〖X^2× 0,5(1+x) dx〗=∫_(-1)^1▒〖(〖0,5x〗^2+〖0,5x〗^3) dx=〗 [0,5 x^3/3+0,5 x^4/4]_(-1)^1=[0,5 1/3+0,5 1/4]-[0,5+(-1)^3/3+0,5 (-1)^4/4]= 0,2916 ̂-(-0,0416 ̂)=0,3 ̂

σ=√(σ^2 )=√(0,2 ̂ ) =0,4714

Mediana:

0 x < -1

F(x) 0,25x^2+0,5x+0,25 -1≤ x ≤ 1

1 x > 1

0,25x^2+0,5x+0,25= 0,5

0,25x^2+0,5x+0,25= 0

(-0,5±√(〖0,5〗^2-4×0,25(-0,25)))/(2×0,25) =

Me= 0,4142

Exercici 3

La nota de l’assignatura d’estadística d’un grup de 200 alumnes es distribueix segons una distribució normal de mitjana 30 punts (d’un total de 50) i una variància de 100 punts. Es demana:

Quin percentatge d’alumnes han obtingut una nota superior o igual a 10 punts?

P(x≥10) ?

z= (10-30)/10= -2  P(z≥ - 2)

P(z≥2)

...