Teoría de calculo
marco13Apuntes27 de Enero de 2016
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Capitulo 1
FUNCIONES Y LÍMITES.
1.1 DESIGUALDADES.
- DEFINICIÓN.
- RECTA NÚMERICA.
- INTERVALOS.
1.2 FUNCIONES.
- DEFINICIÓN.
- CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES.
- DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION.
- GRAFICAS DE LAS FUNCIONES.
- NOTACIÓN FUNCIONAL.
- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.
- OPERACIONES CON FUNCIONES.
- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES:
- LÍMITES.
- INTRODUCCIÓN.
- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
- TEOREMA DE LOS LÍMITES.
- LÍMITES QUE SE RESUELVEN POR f(a).
- LÍMITES POR FACTORIZACIÓN.
- LÍMITES POR RACIONALIZACIÓN.
- LÍMITES DE FORMA INDETERMINADA ∞/∞.
- LÍMITES CON CAMBIO DE VARIABLE.
- CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD.
1.1 DESIGUALDADES
El concepto de orden dado por las siguientes definiciones.
DEFINICIÓN 1. Los símbolos < (menor que) y > (mayor que) se definen como sigue.
- El número real a es menor que el número real b, que se escribe por a < b si b - a es un número positivo.
- El número real a es mayor que el número real b, que se escribe por a > b si a - b es un número positivo.
DEFINICIÓN 2. Los símbolos “menor ó igual que” y “mayor ó igual que” se definen por:
a) [pic 1] si y solo si a < b o a = b
b) [pic 2] si y solo si a < b o a = b.
Al investigar el costo de una libreta en diferentes papelerías de la ciudad notaras que el precio varía. En una cantidad x se encontró que los precios eran $35, $40. $42.50, $50. Este tipo de situaciones son magnitudes que varían, dan origen a expresiones llamadas inecuaciones que se expresan como desigualdades. Así, el precio P de la libreta se expresa [pic 3], [pic 4] y se representa gráficamente como intervalo.
[pic 5] R[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]
0 10 20 30 40 50
EJEMPLO 3x+2 > 14
1° elimine el 2 3x+2-2 > 14-2 3x > 12[pic 20]
2° multiplicamos por 1/3 1/3(3x) > 1/3(12) [pic 21]
EJEMPLO [pic 22]
1° multiplicamos por 3 [pic 23] [pic 24]
2° sumar -7 [pic 25]
3° multiplicar por ¼ -16(¼)< 4x(¼)<20(¼) [pic 26]}
EJEMPLO [pic 27]
1° factorizar (x-2)(x+2)>0 por lo tanto existen dos posibilidades.
Analizando las dos posibilidades [pic 28] la solución es (-2,2)
EJEMPLO [pic 29]
1° factorizar (x-2)(x+1)>0 por lo tanto existen dos posibilidades.
Analizando las dos posibilidades [pic 30] la solución es (-1,2)
EJERCICIOS:
[pic 31]
Resuelve la desigualdad, expresando el resultado en notación de intervalos, de conjuntos y gráficamente.
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RECTA NÚMERICA: Es la representación gráfica del conjunto de los números reales.
R [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
INTERVALOS
Intervalo abierto (a, b) comprende todos los valores entre a y b excepto a y b.
( ) R [pic 61][pic 62]
[pic 63] [pic 64]
Intervalo cerrado [a, b] comprende todos los valores entre a y b, incluso a y b.
[ ] R [pic 65][pic 66]
[pic 67] [pic 68]
Intervalo semiabierto por la izq. (a, b] comprende todos los valores entre a y b incluso a b pero no a.
( ] R [pic 69][pic 70]
[pic 71] [pic 72]
Intervalo semiabierto por la der. [a, b) comprende todos los valores entre a y b incluso a pero no a b.
[ ) R [pic 73][pic 74]
[pic 75] [pic 76]
Intervalo con uno de sus extremos indeterminados (infinito). Hay conjunto de números reales que no posee un extremo o ambos lados definidos.
[pic 77] [pic 78] [pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Intervalo abierto (a, ∞)
( R [pic 91][pic 92]
[pic 93]
Intervalo cerrado [a, ∞)
[ R [pic 94][pic 95]
Intervalo abierto
) R [pic 96][pic 97]
[pic 98]
Intervalo cerrado.
] R [pic 99][pic 100]
[pic 101]
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