Trabajo: Sistemas de coordenadas

Universidad Juárez Autónoma de Tabasco[pic 1][pic 2]

División Académica de Ingeniería y Arquitectura

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Calculo Vectorial

• Sistemas de coordenadas polares, cilíndricas circulares y esféricas.
• Transformación de coordenadas en el espacio.
• Aplicaciones.

Presenta:

OLIVE FUENTES BRIAN ALEXANDER.

ROMERO ESTRADA JUAN MANUEL.

ALVARO VELASCO NOE DE JESUS.

Equipo:

# 4

Profesor:

JULIO CESAR RAMÍREZ HERNÁNDEZ.

Trabajo:

Sistemas de coordenadas.

Tabasco, México abril 2020

Contenido

INTRODUCCION:        3

1.        Sistemas de Coordenadas polares.        4

1.1        Curvas planas.        5

1.2        Graficación en coordenadas polares.        6

1.3        Cálculo en coordenadas polares.        8

2.        Sistema de coordenadas polares cilíndricas circulares.        10

2.1 Los rangos de variación de estas coordenadas son:        11

2.2        ρ es siempre una cantidad positiva        11

3.        Sistemas de coordenadas esféricas.        12

4.        Transformación de coordenadas en el espacio.        14

Fórmulas para la transformación de coordenadas        16

5.        Aplicaciones.        17

Conclusión.        19

Bibliografías:        20

INTRODUCCION:

En este trabajo se abarcaran temas de interés para el alumnado, pre a la exposición de los mismo en la clase, para ello, se adjuntan puntos importantes y a tratar de lo propuesto a ver.

En el presente informe se dará a conocer primeramente el concepto de un sistema de coordenadas en forma general que mediante el mismo, se desarrollara con un esclarecido aprendizaje.

Todo punto del plano complejo (plano cartesiano) puede representarse con sus coordenadas (x y y), que son los puntos de cada uno de los ejes donde cortan las dos perpendiculares a los mismos que podemos trazar desde la propia representación del punto (esto es, las coordenadas que todos conocemos desde siempre). Estas coordenadas se denominan coordenadas rectangulares o cartesianas.

1. Sistemas de Coordenadas polares.

El sistema de coordenadas polares es un sistema coordenado bidimensional en el cual cada punto (posición) en el plano está determinado por un ángulo y una distancia. Este sistema es especialmente útil en situaciones donde la relación entre dos puntos es más fácil de expresar en términos de ángulos y distancias.

Coordenadas polares: la magnitud (longitud) y dirección (ángulo) de un vector. (Morales Medina, 2020)

En el sistema de coordenadas cartesiano o rectangular estas mismas relaciones deben ser expresadas mediante fórmulas trigonométricas. Al ser un sistema de coordenadas bidimensional, cada punto dentro del plano se encuentra determinado por dos coordenadas: la coordenada radial y la coordenada angular. La coordenada radial (comúnmente simbolizada por r) expresa la distancia del punto al punto central del sistema conocido como polo (equivalente al origen del sistema Cartesiano). La coordenada angular (también conocida como ángulo polar o ángulo acimutal, y usualmente simbolizado por θ ) expresa el ángulo positivo (es decir en sentido anti horario) medido desde el eje polar (usualmente se hace coincidir este con el eje x del sistema cartesiano)

En el plano cartesiano con centro el origen se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto P del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.  ("Página del Colegio de Matemáticas de la Escuela Nacional Preparatoria UNAM. Aprendizaje Interactivo con GeoGebra", 2020).

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Imagen 1

1. Curvas planas.

Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo. Sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea recta es un caso particular de curva. Curva: Es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curva plana, también llamada de simple curvatura por el ángulo de contingencia, si tiene todos sus puntos en un mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ángulos el de contingencia y el de torsión, en caso que todos sus puntos no estén en un mismo plano. A continuación se van a definir las principales características de las curvas planas. La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. El orden de una curva es el número máximo de puntos de corte con una secante. ("Unidad 2. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. - Calculo Vectorial", 2020)

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Imagen 2

1. Graficación en coordenadas polares.

El eje a partir del cual se mide los ángulos se denomina eje polar. Como se muestra en la Figura, un punto P en coordenada polares se representa como un par de la forma (r,ᶿ) donde ᶿ>0 si se mide en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj, y ᶿ<0  en caso contrario.

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Imagen 3

 Es el conjunto de puntos tales que cada uno tiene al menos, un par de coordenadas polares que satisfacen la ecuación.

Trazado de curvas en coordenadas polares.

La construcción de curvas en coordenadas polares constará de los seis pasos siguientes:

1. Determinación de las intersecciones con el eje polar y el eje normal.

2. Determinación de la simetría de la curva con el eje polar, el eje normal y el polo.

3. Determinación de la extensión del lugar geométrico.

4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada.

5. Trazado de la gráfica.

6. Transformación de la ecuación polar a rectangular.

Ahora desarrollaremos los pasos 1, 2 y 3, los 4, 5 y 6 no es necesario desarrollarlos.

Explicación de cada paso

• Intersecciones. Las intersecciones con el eje polar, cuando existen, pueden obtenerse resolviendo la ecuación polar dada para r, cuando a [pic 8] se le asignan sucesivamente los valores 0, p, 2p, y en general np, donde n es un entero cualquiera.

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• Simetría: Si la curva es simétrica con respecto al eje polar, entonces para cada punto P existe un punto P`, también de la curva , tal que el segmento PP` es bisecado perpendicularmente por el eje polar.

• Extensión del lugar geométrico: Para determinar la extensión de la gráfica de un lugar geométrico dado en coordenadas polares, primero se despeja a r en función de[pic 11], de modo que tenemos.

r=f ([pic 12])

Si r es finito para todos los valores de[pic 13], se trata de una curva cerrada.

 Si r es infinita para ciertos valores de [pic 14] la gráfica no es una curva cerrada.

Para valores de [pic 15] que hacen a r compleja no hay curva; tales valores constituyen intervalos excluidos del lugar geométrico. Si la gráfica es una curva cerrada, es útil, determinar los valores máximo y mínimo de r.

• Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada.

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• Trazado de la curva

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1. Cálculo en coordenadas polares.

• Pendiente de una recta tangente en forma polar.

Para encontrar la pendiente de una recta tangente en forma polar, debemos de considerar una función r f = (θ ) que sea diferenciable.

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