Una solución de la 2da práctica calificada de cálculo para ciencias

Universidad Nacional Agraria La Molina        CICLO: 2022- II

Facultad de Ciencias        GRUPO: C

Departamento Académico de Matemática        Presencial

UNA SOLUCIÓN DE LA 2da PRÁCTICA CALIFICADA DE CÁLCULO PARA CIENCIAS

1. Dada las funciones 𝑓 y 𝑔

2𝑥2 + 4[pic 1]

𝑓(𝑥) =

𝑥 + 2

,   𝑥 ∈ [−1,2] ;        𝑔(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑎𝑥 + 8𝑙𝑛2,   𝑥 ∈ [0,2]

Utilizando el teorema del valor medio de la integral definida, calcule:

1. El valor de "𝑎", de tal manera que ambas funciones tengan el mismo valor medio en sus dominios correspondientes.        (3 puntos)

1. El (Los) valor(es) de 𝑐 para la función 𝑔 que satisfacen dicho teorema.        (1 punto)

Solución.

Usando el teorema del valor medio, se tiene

𝑓(𝑐1) = 𝑓̅ =

1        2

∫  ([pic 2]

3 −1

2𝑥2 + 4

𝑥 + 2[pic 3]

) 𝑑𝑥 =

1        2

[(𝑥 − 2)2 + 12 ln(𝑥 + 2)]|[pic 4]

3        −1

= 8𝑙𝑛2 − 3

𝑔(𝑐2) = 𝑔̅ =

1        2

∫ (3𝑥2 − 𝑎𝑥 + 8𝑙𝑛2)𝑑𝑥 = 2 0[pic 5]

1

[𝑥3 −[pic 6]

2

𝑎𝑥2

[pic 7]

2

2

+ (8𝑙𝑛2)𝑥]|

0

= 4 + 8𝑙𝑛2 − 𝑎

Según el enunciado 𝑓̅ = 𝑔̅, entonces, el valor de 𝑎 = 7, luego

𝑔(𝑐) = 3𝑐2 − 7𝑐 + 8𝑙𝑛2 = 8𝑙𝑛2 − 3

[pic 8][pic 9]

3𝑐2 − 7𝑐 + 3 = 0 ⇒ 𝑐 = 7 ± √13

6[pic 10]

Por lo tanto, los valores 𝑐 que satisfacen el teorema para la función 𝑔 son: 𝑐2 = {0.5656; 1.7677}

1. Dada la siguiente integral: 

[pic 11]

2[pic 12]

3[pic 13]

𝐼 =  ∫(1 − 𝑥)3 (  )[pic 14]

2

−1

𝑥2

𝑑𝑥

[pic 15]Si 𝐿 es la aproximación de 𝐼 por el punto izquierdo y 𝑅 es la aproximación de 𝐼 por el punto derecho, para 𝑛 = 3 (𝑛 número de sub intervalos):

1. Calcule el valor de 𝐼𝐷 = (𝐿 + 𝑅)/2.        (2 puntos)
2. Aproxime 𝐼 por el punto medio para 𝑛 = 3,        (1 punto)
3. Considerar el valor de 𝐼 = 3.9085 y compárelo con los resultados encontrados en a) y b), explique.        (1 punto)

Solución.

Tenemos, 𝑎 = −1, 𝑏 = 2, 𝑛 = 3 por lo tanto, ∆𝑥 = 1

Calculamos 𝑓(𝑥𝑖) para cada 𝑥𝑖, 𝑖 = 0 a 3 construimos las siguientes tablas:

a)

𝐼𝐷 =

b)

(13.0000 + (−4.0625))

2        = 4.4687[pic 16]

c) Comparando con los resultados obtenidos en el ítem a) y b) con el valor de 𝐼 = 3.9085 se puede observar que a pesar de trabajar con valores muy bajos de 𝑛 se obtiene, buenos resultados y una mejor aproximación se consigue usando los valores del punto medio.

1. Se requiere aproximar la integral 𝐼, usando la regla de compuesta del Trapecio. Determine el número de sub intervalos (𝑛) para aproximar 𝐼, con una exactitud de 10-3.

2

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

−1

Si se sabe que:

𝑓′′(𝑥) =[pic 17]

Solución.

(𝑥3 − 3𝑥 + 2) 3

𝑙𝑛(𝑥 + 2) −

1

(3𝑥 − 3𝑥2+𝑥3)        (𝟒 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬)[pic 18]

9

[pic 19]Tenemos, 𝑎 = −1, 𝑏 = 2, ∆𝑥 = 3,[pic 20]

𝑛

Se calcula la tercera derivada, 𝑓′′′(𝑥) = (𝑥2 − 1)ln (𝑥 + 2), se tiene los puntos críticos en el intervalo

[−1,2], 𝑥 = {−1,1,2}, donde se obtiene:

𝑓′′(−1) = 0.77778;  𝑓′′(1) = −0.11111;  𝑓′′(2) = 1.6262

Por lo tanto, 𝑀 = | 𝑓′′(2)| = 1.6262, para la exactitud de 10-3, necesitamos tener:

1.6262 (2 + 1)3 < (10)−3[pic 21]

12𝑛2

𝑛2 > 3659 ⇒ 𝑛 > 60.49

...