Vectores

[pic 1]

Índice

¿Que son los Vectores? …………………………………………………                 ………………………….……...……1

Historia de los Vectores………………………………………………………………………………………   ………….2

Magnitud                        …………………………………………………………………………………………….…...…3

Dirección                  ……………………………………………………………………………….…………..    ……….4

Método Grafico     …………………………………………………       ………………………………………..…… …..5

Método Analítico ……………………………………………………………………                 ……………………...… 6

Teorema de Pitágoras…     …………………………………………………………………………………………...….7

Usos de los vectores en la vida………      ………………………………………………………………………………8

Vectores libres              …………………………………………………………………………………………………….9

Vectores deslizantes   …………………………………………………           ………………………………  ……10-11

Vectores Colineales………………………………………………………………………………………………  ……. 12

Vectores coplanares                                                                                                                                                13

Vectores concurrentes                                                                                                                                            14

Vectores paralelos                                                                                                                                                  15

Conclusión…………………………………………………………………………………………………………………16

Un vector​: en matemáticas o física es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. Un vector queda completamente determinado en tres dimensiones por tres números. Por ejemplo, para el vector posición en coordenadas rectangulares (x,y,z), en coordenadas cilíndricas (ρ,φ,z) o en esféricas (r,φ,θ). La definición común de que un vector tiene magnitud (módulo) y dirección se deduce del uso de coordenadas esféricas (con θ=π/2) o cilíndricas (con z=0) en el plano xy. En este caso (en el plano xy), el módulo corresponde exactamente a las componentes ρ o r (tamaño del vector) y la dirección queda determinada por el ángulo φ. El sentido, que tanto se insiste (en español) como característica de un vector es redundante. Porque la componente φ del vector cubre de 0 a 2π, ergo, no es necesario dar un sentido. Ese sería el caso si se tratase de una recta, la cual si es rotada π radianes es exactamente la misma y es entonces que se necesita asignar un sentido.​ Los vectores nos permiten representar magnitudes físicas vect[pic 2]oriales, como las mencionadas líneas abajo. En matemáticas se define vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclidiano se pueden representar geométricamente como segmentos de recta (tridimensional). En física se define como el segmento de una recta, el cual se encuentra situado en el espacio de un plano ya sea bidimensional o tridimensional. Un ejemplo de un fenómeno físico que se puede describir con vectores es la velocidad de un automóvil, no sería suficiente describirla con tan solo un número, que es lo que marca el velocímetro, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige). Otro ejemplo es la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir la distancia que recorre, y la dirección del movimiento, o bien la posición inicial y final del objeto. En términos físicos, un vector es un segmento de una recta en el espacio. Este segmento parte de un punto hacia otro. Tiene una dirección y un sentido. Su función es expresar las magnitudes vectoriales. La palabra vector proviene del latín, vectoris. Su significado es “el que conduce”. Gráficamente los vectores son representados con una flecha. Cuando se expresan a través de una fórmula lo hacen con una letra coronada con una flecha. En diseño gráfico hablamos de imágenes vectorizadas o vectores. Son una de las herramientas más utilizadas en diseño. La diferencia entre un mapa de bits y una imagen vectorial es la clave para definir qué es una imagen vectorial. Un vector se trata de una imagen digital hecha con objetos geométricos como los que podemos visualizar en las fotos de este artículo. Puede modificarse tanto en su altura, tamaño y color sin perder la calidad y definición de la imagen. Los mapas de bits, en cambio, se crean a partir de píxeles y cuando son manipulados pierden su calidad. Se utilizan vectores en trabajos como la realización de logos e ilustraciones. Esto es, trabajos que necesiten mantener una alta resolución en su imagen. Por el contrario, los mapas de bits se utilizan para trabajos como fotografías o dibujos digitales. El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente. Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial. Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático inglés Oliver Heaviside (1850-1925). Según esto se inició una nueva concepción de algebra donde se cumplían las operaciones de la aritmética básica, con el objetivo de justificarlas con expresiones literales, que se encontraban en los números irracionales, negativos y complejos. Por lo cual se encontró una diferencia entre el álgebra aritmética y el álgebra simbólica. Según George Peacock (1791-1858) Por otro lado, en el siglo XVII la física exigió a la matemática la descripción cuantitativa del movimiento. En esa época no se contaba con un aparato analítico que describiera la velocidad, solo utilizaban la explicación aristotélica. Por lo tanto, Galileo se propone dejar atrás esta tradición, utilizando diagramas de velocidades, similares a la representación triangular. A su vez el holandés Simón Stevin (1548-1620), formulo el principio del paralelogramo de fuerzas, dándose a ver los primeros avances del análisis. En

[pic 3]la descripción del movimiento parabólico, La Historia de los vectores: Se origina con la imaginación de los cuaterniones de Hamilton, quien anejo a otros los desarrollaron como instrumento matemáticas para la observación del oficio físico. Esta misión se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903). En los cuaterniones se fueron apareciendo problemas aseguro Lord Kelvin, pero en lo que se equivoco fue que el no sabia que cuando en el cuaternión se trabajaba la componente dinámico y la elemento imaginaria se manejaban al mismo asamblea, esto origino que muchos científicos se dieran cuenta de que muchos de estos problemas se podían regir observando cada una de las partes por desviado se lo debemos en corriente al físico gringo Gibbs En matemáticas se define vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Un ejemplo de un milagro físico que se puede adjetivar con vectores es la precipitación de un automóvil, no sería orgulloso describirla con tan solo una cifra, que es lo que marca el velocímetro, destino que se requiere manotear la jefatura (hacia adonde se dirige).Características de un vector Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa siendo sus coordenadas Si consideramos el triángulo formado por los componentes  (como catetos) y  (como hipotenusa): se puede calcular  multiplicando  por el cos (siendo α el ángulo formado por   o multiplicando   por el senβ (siendo β el ángulo formado por   De igual forma se puede calcular   multiplicando   por el senα o multiplicando   por el cosβ (considerando las posiciones de α y β mencionadas anteriormente).El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente. Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial. El producto vectorial nace con del descubrimiento que hiciera uno de los fundadores de la matemática en el año 1843 Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático inglés Oliver Heavisideermann G. Grassmann en el desarrollo de las nuevas álgebras que estaban por venir en la segunda mitad del siglo XIX. Después de proponer en su Ausdehnungslehre nuevas bases para todas las matemáticas, comenzando con definiciones de naturaleza más bien filosófica, Grassmann demostró que si  la  geometría  se  hubiese  expresado  en  forma algebraica  como  él  proponía,  el  número  tres  no  hubiese  desempeñado  el  papel preponderante que hoy día tiene como número que expresa el espacio que nos rodea; de hecho,  el  número  de  posibles  dimensiones  de  interés  para  la  geometría  es  ilimitado. Grassmann no pudo formalizar  su  trabajo  ya  que  en  aquel  momento  no  existía  un lenguaje algebraico adecuado donde sus ideas pudieran ser plasmadas. Sin embargo, su álgebra lineal fue comprendida y reconocida finalmente alrededor de 1920,  cuando Hermann Weyl y otros publicaron su definición formal que ya había sido estudiada y formulada  30  años  atrás por el  matemático italiano Giusseppe Peano (1858-1932). Grassmann desarrolló la teoría de la independencia lineal de modo extraordinariamente similar a la presentación que hoy día podemos encontrar en  los  textos  modernos  de álgebra  lineal.  Definió la noción de subespacio, independencia, longitud, desdoblamiento, dimensión, unión e intersección de subespacios, y proyección de elementos en  los  subespacios.  Fue  a  principios  del  siglo  XX  cuando  los  trabajos  de Grassmann comenzaron  a ser considerados  y valorados. Sin  embargo, a pesar de ello tuvo algunos incondicionales como su compatriota Hermann Hankel (1839-1873), que escribió  Theorie der complexen Zahlensysteme und ihre Functionen en  1867,  donde llevó a cabo una clara y concisa comparación desde el punto de la notación del cálculo cuaterniónico con el grassmaniano. El trabajo de Grassmann consistió fundamentalmente en una generalización del actual producto vectorial, de ahí su valor. Grassmann se guio de su intuición geométrica, definiendo un nuevo producto que en la actualidad se denomina producto exterior (ab = a ∧ b) que él denominaba producto escalón, relacionado íntimamente con el actual producto vectorial, pero sin la restricción de una dimensionalidad fija de éste. Debido a un actual abuso de la notación, algunos docentes y profesores expresan erróneamente el producto vectorial con el símbolo ∧, a pesar de que conceptualmente son diferentes en origen y formulación, ya que el producto exterior es asociativo, mientras que el producto Revista “Pensamiento Matemático”-Hamilton y el Descubrimiento de los vectores, y El descubrimiento  de  los  cuaterniones  nunca  colmaron  las expectativas  que  Hamilton  había  depositado  

...