Vectores

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VECTORES

Definición. - Un Vector es la forma de referirnos a la posición que ocupa un punto en un espacio “n” dimensional. Decir espacio “n” dimensional es referirse a la posición del punto dependiendo la referencia que tengamos, una recta (R1), dos rectas (R2), tres rectas  (R3), …, n rectas  (Rn)  así por ejemplo para R1 se tiene.

Representación del punto en el espacio R1 

Posición del punto en el espacio R1 es este caso debemos ubicar al punto sobre una recta numérica así poder definir su posición referida a esa recta numérica.    

                               [pic 1][pic 2][pic 3]

               [pic 4][pic 5][pic 6]

   [pic 7][pic 8]

[pic 9][pic 10]

                   Punto (A)                      Recta o eje de referencia (espacio R1)   [pic 11][pic 12][pic 13]

           O                            Vector representado por la flecha en verde                      [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

                                                 [pic 18]

 Representaciones gráficas en R1         

Ejemplo: Representar en R1 el vector negativo cuya magnitud o modulo es cuatro. En todas sus formas sabiendo que su dirección forma un ángulo de 600 con la vertical medidos en el sentido horario.[pic 19]

[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

                                                      600   O[pic 25][pic 26][pic 27]

                                                                                                             [pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

                                    B                                                    [pic 32][pic 33]

         Representación del punto o vector B=  en el espacio R1 [pic 34]

VECTORES UNITARIOS. - Un Vector Unitario se define como un vector de modulo o magnitud uno, su principal uso es que sirve para representar cualquier vector que tenga la misma dirección que él o sea a todos los vectores colineales a él. Sus formas más comunes de representación son, las letras i, j, k, así como las letras griegas  , ,, recuerde,  los vectores se representan en “negrillas” o con una flecha arriba de la letra para indicar que es un vector y diferenciarlo de su magnitud. Gráficamente tenemos:[pic 35][pic 36][pic 37]

                                                                                                A                      B                C           R1[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 38]

[pic 54][pic 55]

                                                                    Así los vectores A, B, C, con  como[pic 56]

                                                                     vector se pueden representar por:

Representación del punto en el espacio R2 

Para referirnos a la posición que tienen punto en el espacio R2 o espacio bidimensional, la posición del punto queda referida a dos rectas o ejes cualesquiera, en el caso particular que las rectas formen un ángulo recto se dice que son ortogonales, o que el sistema de ejes de referencia en R2es un sistema ortogonal.

Nuevamente la posición del punto en el espacio R2, se puede representar gráficamente y matemáticamente, como especificamos a continuación.

[pic 57][pic 58]

[pic 59]

                                                     [pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

                                   A             O   [pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]

                                         xa                                                                   [pic 73][pic 74]

                                           [pic 75]

Nota: En este caso como en los siguientes La dirección o sea el ángulo que el vector forma con uno de los ejes se dará por medio de los ángulos que el vector forma con cada uno de los ejes coordenados tomados como referencia, y se les llamará,” Ángulos Directores del Vector”

Al igual que en R1 se pueden seleccionar ahora tres Vectores Unitarios digamos i, j, para que represen las direcciones de cada uno de los dos ejes de referencia y un vector unitario, digamos épsilon , para que representa la dirección del vector en R2 veamos gráficamente como se representa este caso:[pic 76]

                                                                                                                                                                      A[pic 77][pic 78][pic 79]

                                                                       Sistemas de ejes ortogonales (el ángulo entre los ejes de referencia es 900)

En general nuestro problema va a ser que dado un vector (punto) en alguna de sus formas, grafica o matemática nosotros tengamos que encontrar todas las formas de representación de ese vector o punto, para ello recordemos los conocimientos de trigonometría, específicamente en la solución de triángulos, hay dos casos generales en la solución de triángulos, veamos cuales son a continuación, así como las fórmulas o modelos matemáticos que nos sirven como “herramientas” para resolverlos.                                                                                

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