Álgebra Boleana

INTRODUCCIÓN

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.

En el presente trabajo se intenta dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,

haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para varios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma función. Pero para otros propósitos son a menudo engorrosas, por tener más operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamos construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas, el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudo crucial. No resultan de la mismaeficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menortiempo. Como solución a este problema, se plantea un método de simplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación de poder trabajar adecuadamente sólo con pocas variables.

Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de boole y la lógica proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificación presentado en la lógica de proposiciones.

HISTORIA

Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic1 , publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of Thought2 , publicado en 1854.

DEFINICIÓN

Una álgebra de Boole es una tripleta . Donde , y son operaciones binarias y también operaciones internas en y además para cualquier se cumplen los siguientes axiomas:

1. Propiedad conmutativa:

2. Propiedad asociativa:

3. Propiedad distributiva:

4. Propiedad de los neutros. Existen tales que:

5. Se cumple la propiedad: tal que:

0 1 1

1 0 1

0 1 0

1 0 0

Algunos autores al definir un Algebra de Boole, prescinden del axioma o Ley Asociativa porque consideran que es una propiedad demostrable a partir de los restantes axiomas y propiedades ya demostradas. Por ejemplo, puede demostrarse la propiedad o Ley Asociativa a partir de los restantes axiomas y de la propiedad o Ley e Absorción.

OPERACIONES

Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación suma

a b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Operación producto

a b a b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

Solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

Operación negación

a

0 1

1 0

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

Operaciones combinadas

...