Álgebra Booleana

Teoremas y postulados

Teoremas

Teorema1: Multiplicación por cero (identidad)

Es el factor neutro: Suma: a+1=!--------Producto: a0=0

Teorema 2: Absorción En la suma se identifica primero de forma aislada y luego multiplicando a otra expresión.

Suma: A+(AB)=A----------Producto: A(A+B)=A

Teorema 3: Cancelación I Es cuando se encuentra una expresión sumada o multiplicada con su complemento: Suma: A+A'B=A+B-------Producto: A(A'+B)=AB

Teorema 4: Cancelación II Se identifica en 2 términos que comparten un factor común y otro que no es común, uno de ellos es el complemento de la otra: Suma: AB+A'B = B---------Producto:(A+B)(A'+B)=B

Teorema 5: Idempotencia Si se suma o multiplica el termino n número de veces, dará por resultado el mismo. Suma: A+A+A=A---------Producto:(A)(A)(A)=A

Teorema 6: Consenso Se encuentran 2 términos que contengan una expresión en uno afirmada y en otro negada, anotar los términos con que se multiplica uno y otro, al final se busca otro elemento o termino que sea la multiplicación de estos 2 últimos, este último se multiplica. Suma: AB+A'C+BC=AB+A'C---------------Producto: (A+B)(A'+C)(B+C)=(A+B)(A'+C)

Teorema 7: De Morgan Si hay suma complementada se puede hacer el producto de cada parte con su complemento. Suma: |A+B|=A'B'---------------Producto: |AB|=A'+B'

Teorema 8: Involución El complemento de un complemento es el termino sin complementos.-----||A=A

Teorema 9: Complemento de neutros El complemento de la nada es el todo y el del todo es la nada.0'=1----1'=0

Postulados

Postulado 1: Definición En un sistema algebraico definido en un conjunto B, que contiene 2 o más elementos donde pueden darse solo 2 operaciones, la suma u operación "OR" y la multiplicación o multiplicación "AND"

Postulado 2: Identidad (existencia de neutros)En B, el elemento neutro de la suma determinada "0" y en la multiplicación "!" donde X en B: a)n+0=X------------ b)X1=X

Postulado 3: Conmutatividad Para cada X,Y,Z en B: a)X+Y=Y+X-----b)XY=YX

Postulado 4: Asociatividad Para cada X,Y,Z en B: a)X+(Y+Z)=(X+Y)+Z---------b)X(YZ)=(XY)Z

Postulado 5: Distributividad Para cada X,Y,Z en B: a)X+(YZ)=(X+Y)(X+Z)------------b)X(Y+Z)=(XY)+(XZ)

Postulado 6: Existencia de complemento Para cada X en B existe un elemento único denotado por X' complemento tal que: a)X+X'= 1-------b)XX'=0

Ejemplos:

x + x = x x + xy = x

x + x = (x + x) . 1 x . 1 + xy = x

x + x = (x + x) (x + x’) x (1 + y) = x

x + x = x + xx’ x (y + 1) = x

x + x = x + 0 x (1) = x

x + x = x x = x

Optimización de expresiones booleanas

Las expresiones booleanas se usan para determinar si un conjunto de una o más condiciones es verdadero o falso, y el resultado de su evaluación es un valor de verdad. Los operandos de una expresión booleana pueden ser cualquiera de los siguientes:

Expresiones relacionales: que comparan dos valores y determinan si existe o no una cierta relación entre ellos (ver más adelante), tal como mfn<10;

Funciones booleanas: tal como p (v24), que regresa un valor de verdad (estos se explican bajo "Funciones booleanas"). Las expresiones relacionales permiten determinar si una relación dada se verifica entre dos valores. La forma general de una expresión relacional es:

Expresión-1 operador-de-relación expresión-2

Dónde:

Expresión-1 es una expresión numérica o de cadena

Operador-de-relación es uno de los siguientes:

= Igual

No igual (diferente de)

< Menor que

<= Menor o igual que

Mayor que

>= Mayor o igual que

Contiene (puede ser usado sólo en expresiones de cadena)

Expresión-2 es una expresión del mismo tipo que expresión-1, o sea, expresión- 1 y expresión-2 deben ser ambas expresiones numéricas o ambas expresiones de cadena.

Los operadores de relación = <> < <= > >=tienen su significado convencional cuando se aplican a expresiones numéricas (dentro de los límites de precisión de los valores numéricos definidos bajo "Expresiones numéricas"). Cuando se comparan expresiones de cadena, se aplican las siguientes reglas:

Excepto por el operador ":" (contiene), las cadenas se comparan exactamente en la forma en que ocurren, o sea, las letras mayúsculas y minúsculas se comparan de acuerdo con el código ASCII que les corresponde (p.ej. A será considerada menor que a);

Dos expresiones de cadena no son consideradas iguales, a menos que tengan la misma longitud. Si dos expresiones generan cadenas de diferente longitud que son idénticas, carácter por carácter, hasta el total de la longitud de la más corta, entonces, la más corta será considerada menor que la más larga.

El operador: (contiene), busca una cadena de caracteres (definida por expresión-2) en otra cadena (definida por expresión-1). Si el segundo operando existe en cualquier parte del segundo operando, el resultado

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