Algebra Booleana

INDICE

Introducción…………………………………………………………………………….3

4.1 Teoremas y Postulados (de optimización)……………………………………..4

4.2 Optimización De Expresiones Booleanas……………………………………...6

4.3 Aplicación Del Algebra Booleana (Compuertas Lógicas)…………………….8

4.3.1 Mini Término Y Maxi Términos……………………………………………...12

4.3.2 Representación De Expresiones Booleanas (Circuitos Lógicos)………..15

Resultados……………………………………………………………………………17

Conclusiones Y Recomendaciones………………………………………………..18

Bibliografías…………………………………………………………………………..19

INTRODUCCION

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.

Se plantean dos formas de las funciones booleanas, que son útiles para varios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma función.

El estudio de los códigos nos entregó una forma compacta para la representación de números y símbolos alfanuméricos de uso habitual en nuestro lenguaje. En lo que sigue, estudiaremos la base técnica en la cual se sustenta el funcionamiento de los diferentes circuitos electrónicos digitales, los cuales permiten desarrollar funciones específicas.

En este documento aplicaremos los conceptos básicos del algebra booleana, los teoremas y las propiedad para optimizar expresiones booleanas y para diseñar circuitos básicos como compuertas lógicas.

4.1 TEOREMAS Y POSTULADOS (de optimización)

Teoremas

Teorema 1: Multiplicación por cero (identidad)

Es el factor neutro: Suma: a+1=!--------Producto: a0=0

Teorema 2: Absorción En la suma se identifica primero de forma aislada y luego multiplicando a otra expresión.

Suma: A+(AB)=A----------Producto: A(A+B)=A

Teorema 3: Cancelación I Es cuando se encuentra una expresión sumada o multiplicada con su complemento: Suma: A+A'B=A+B-------Producto: A(A'+B)=AB

Teorema 4: Cancelación II Se identifica en 2 términos que comparten un factor común y otro que no es común, uno de ellos es el complemento de la otra: Suma: AB+A'B = B---------Producto:(A+B)(A'+B)=B

Teorema 5: Idempotencia Si se suma o multiplica el termino n número de veces, dará por resultado el mismo. Suma: A+A+A=A---------Producto:(A)(A)(A)=A

Teorema 6: Consenso Se encuentran 2 términos que contengan una expresión en uno afirmada y en otro negada, anotar los términos con que se multiplica uno y otro, al final se busca otro elemento o termino que sea la multiplicación de estos 2 últimos, este último se multiplica. Suma: AB+A'C+BC=AB+A'C---------------Producto: (A+B) (A'+C) (B+C)=(A+B) (A'+C)

Teorema 7: De Morgan Si hay suma complementada se puede hacer el producto de cada parte con su complemento. Suma: |A+B|=A'B'---------------Producto: |AB|=A'+B'

Teorema 8: Involución El complemento de un complemento es el termino sin complementos.-----||A=A

Teorema 9: Complemento de neutros El complemento de la nada es el todo y el del todo es la nada.0'=1----1'=0

Postulados

Postulado 1: Definición En un sistema algebraico definido en un conjunto B, que contiene 2 o más elementos donde pueden darse solo 2 operaciones, la suma u operación "OR" y la multiplicación o multiplicación "AND"

Postulado 2: Identidad (existencia de neutros)En B, el elemento neutro de la suma determinada "0" y en la multiplicación "!" donde X en B:

a(n+0=X------------ b)X1=X

Postulado 3: Conmutatividad

Para cada X, Y, Z en B: a)X+Y=Y+X-----b)XY=YX

Postulado 4: Asociatividad

Para cada X, Y, Z en B: a)X+(Y+Z)=(X+Y)+Z---------b)X(YZ)=(XY)Z

Postulado 5: Distributividad

Para cada X,Y,Z en B: a)X+(YZ)=(X+Y)(X+Z)------------b)X(Y+Z)=(XY)+(XZ)

Postulado 6: Existencia de complemento Para cada X en B existe un elemento único denotado por X' complemento tal que: a)X+X'= 1-------b)XX'=0

Ejemplos:

x + x = x x + xy = x

x + x = (x + x) . 1 x . 1 + xy = x

x + x = (x + x) (x + x’) x (1 + y) = x

x + x = x + xx’ x (y + 1) = x

x + x = x + 0 x (1) = x

x + x = x x = x

4.2

...