Algebra Booleana

5.1 Introducción

El álgebra booleana fue desarrollada por George Boole y en su libro An Investigation of the Laws of Thought, publicado en 1854, muestra las herramientas para que las proposiciones lógicas sean manipuladas en forma algebraica. Debido al carácter abstracto de sus principios no tuvo una aplicación directa sino hasta 1938 en que la compañía de teléfonos Bell de Estados Unidos la utilizó para realizar un análisis de los circuitos de su red telefónica. En ese mismo año Claude E. Shannon, entonces estudiante de postgrado del Instituto Tecnológico de Massachussets, a partir del álgebra de Boole creó la llamada álgebra de conmutación para representar las propiedades de conmutación eléctrica biestables, demostrando con esto que el álgebra booleana se adapta perfectamente al diseño y representación de circuitos lógicos de control basados en relés e interruptores.

Los circuitos lógicos de control tienen una gran importancia ya que las computadoras, los sistemas telefónicos, los robots y cualquier operación automatizada en una empresa, son algunos de

Una señal es la representación de información, y puede aparecer en forma de valor o de una cadena de valores de una magnitud física. Existen principalmente dos clases de señales: analógicas y digitales.

La señal analógica tiene como característica principal el continuo cambio de magnitud, de la misma manera que una corriente eléctrica y una presión de gas.

En la señal digital

los posibles valores de tensión están divididos en un número infinito de intervalos, a cada uno de los cuales está asignado un valor o una cadena de valores como información. Una señal digital puede obtenerse de una manera analógica asignando ciertos umbrales de sensibilidad.

La señal binaria es una señal digital con sólo dos valores posibles: conectado-desconectado, verdadero-falso, 1-0.

5.2 Expresiones booleanas

El álgebra booleana trabaja con señales binarias. Al mismo tiempo una gran cantidad de sistemas de control, también conocidos como digitales, usan señales binarias y éstas son un falso o un verdadero que proviene de sensores que mandan la información al circuito de control, mismo que lleva a cabo la evaluación para obtener un valor que indicará si se lleva a cabo o no una determinada actividad, como encender un foco, arrancar un equipo de ventilación en un cine o ejecutar una operación matemática en una computadora.

Los sensores pueden ser “ópticos”, como los que se usan en tiendas departamentales (de proximidad); “magnéticos”, como los que permiten detectar armas en aeropuertos; de “temperatura”, como los que utiliza un sistema de calefacción, los refrigeradores o bien el mismo termostato que controla el sistema de enfriamiento del motor de un vehículo; de “nivel”, ya que un flotador como el que tiene un tinaco o una cisterna para controlar la cantidad de agua, es un sensor que puede mandar información a

un circuito de control.

En cada uno de estos grupos de sensores existen tipos, tamaños y modelos, de acuerdo con el uso y funcionamiento, de forma que existen infrarrojos, láser, fotoeléctricos y de ultrasonido, entre otros.

Para resolver un problema práctico en el cual se desea automatizar un proceso, es necesario realizar un análisis detallado de lo que se quiere lograr así como de los tipos de sensores necesarios para obtener las señales. Una vez que se conoce esto se plantea el funcionamiento del circuito lógico en una expresión matemática, la cual recibe el nombre de función booleana, y cada una de las variables de que está integrada esta función representa un sensor que provee al circuito de una señal de entrada.

Ejemplo 5.1. Supóngase que en una industria refresquera se desea que un sistema automático saque de la banda de transportación un refresco que no cumple con los requisitos mínimos de calidad, y que para esto se cuenta con cuatro sensores en diferentes puntos del sistema de transportación para revisar aspectos importantes de calidad. Supóngase además que los sensores son A, B, C y D y que el sistema F sacará al refresco si los sensores emiten el siguiente grupo de señales: A | B | C | D | E |

0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

0 | 0 | 0 | 1 | 1 |

0 | 0 | 1 | 0 | 0 |

0 | 0 | 1 | 1 | 1 |

0 | 1 | 0 | 0 | 0 |

0 | 1 | 0 | 1 | 0 |

0 | 1 | 1 | 0 | 0 |

0 | 1 | 1 |

1 | 0 |

1 | 0 | 0 | 0 | 0 |

1 | 0 | 0 | 1 | 1 |

1 | 0 | 1 | 0 | 1 |

1 | 0 | 1 | 1 | 1 |

1 | 1 | 0 | 0 | 0 |

1 | 1 | 0 | 1 | 0 |

1 | 1 | 1 | 0 | 0 |

1 | 1 | 1 | 1 | 0 |

| |

La función booleana que equivale a la tabla de verdad anterior es:

F = A′B′C′D + A′B′CD + AB′C′D + AB′CD +AB′CD′

Esto implica que el refresco será extraído de la banda de transportación en cualquiera de los siguientes casos, ya que para cualquiera de ellos se tiene que F = 1:

A = 0, | B = 0, | C = 0, | D = 1 |

A = 0, | B = 0, | C = 1, | D = 1 |

A = 1, | B = 0, | C = 0, | D = 1 |

A = 1, | B = 0, | C = 1, | D = 1 |

A = 1, | B = 0, | C = 1, | D = 0 |

La función booleana indica solamente los casos en donde el refresco será extraído, pero existen varios casos más en donde se dejará pasar porque cumple con los requisitos mínimos de calidad.

Se puede decir que en general una expresión booleana es un sistema de símbolos que incluyen 0, 1, algunas variables y las operaciones lógicas.

5.3 Propiedades de las expresiones booleanas

Las expresiones booleanas poseen las siguientes propiedades:

a) Están compuestas de literales (A, B, C, ...) y cada una de ellas representa la señal de un sensor. Un ejemplo es F = A′BD + AB′CD.

b) El valor de las señales o de la función sólo puede ser 0 o 1, falso o verdadero.

c)

Además de literales, en la expresión booleana se puede tener el valor de 0 o 1. Por ejemplo: F = A′BD1 + AB′CD + 0.

d) Las literales de las expresiones booleanas pueden estar conectadas por medio de los operadores lógicos And (∧), Or (∨) y Not (′). El operador And es una multiplicación lógica que se indica por medio de un paréntesis, un punto o simplemente poniendo juntas las variables que se multiplican, por ejemplo el producto de A y B se expresa como (A)(B) = A . B = AB; el Or es una suma lógica que se indica con el signo +; y el operador Not es el complemento o negación de una señal que se indica por un apostrofo (′). En la siguiente expresión se muestra la forma en que se representan los operadores:

F = A′BD1 + AB′CD + 0 = A′ ∧ B ∧ D ∧ 1 ∨ A ∧ B′ ∧ C ∧ D ∨0

e) Es posible obtener el valor de una expresión booleana sustituyendo en cada una de las literales el valor de 0 o 1, teniendo en cuenta el comportamiento de los operadores lógicos. En las siguientes tablas se muestra la manera en la que se aplica esta propiedad:

And |

| Or |

| Not |

|

|

A | B | A ∧ B = AB |

1 | 1 | 1 |

1 | 0 | 0 |

0 | 1 | 0 |

0 | 0 | 0 |

| |

A | B | (A ∨ B) = A + B |

1 | 1 | 1 |

1 | 0 | 1 |

0 | 1 | 1 |

0 | 0 | 0 |

| |

A | A′ |

1 | 0 |

0 | 1 |

|

Hay que tener presente que en álgebra booleana:

1 + 1 = 1 1 + 1 + 1 = 1 0 + 1 = 1 0 + 0 = 0 |

ya que el valor máximo es 1.

f) Además de

las operaciones básicas, también es posible aplicar la ley de De Morgan de forma semejante a como se aplica en teoría de conjuntos. El siguiente ejemplo muestra la aplicación de esta propiedad:

(ABCD)′ = A′ + B′ + C′ + D′

(A + B + C + D)′ = A′ B′ C′ D′

5.4 Optimización de expresiones booleanas

Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obtenida no necesariamente es la óptima, esto es, la más fácil, clara y sencilla de implementar utilizando compuertas lógicas. La expresión que resulta del planteamiento del problema puede ser simplificada empleando para ello teoremas y postulados del álgebra booleana o bien mapas de Karnaugh.

5.4.1 Simplificación de expresiones booleanas mediante teoremas del álgebra de Boole

Los teoremas que se van a utilizar se derivan de los postulados del álgebra booleana, y permiten simplificar las expresiones lógicas o transformarlas en otras que son equivalentes. Una expresión simplificada se puede implementar con menos equipo y su circuito es más claro que el que corresponde a la expresión no simplificada.

A continuación se presenta una lista de teoremas, cada uno con su “dual”.

Tabla 5.1 Teoremas del álgebra de Boole

Número | Teorema | Dual |

1a. | 0A=0 | 1+A=1 |

2a. | 1A=A | 0+A=A |

3a. | AA=A | A+A=A |

4a. | AA'=0 | A+A'=1 |

5a. | AB=BA | A+B=B+A |

6a. | ABC=A(BC) | A+B+C=A+(B+C) |

7a. | (AB...Z)'=A'+B'+...+Z' | (A+B+...+Z)'=A'B'...Z' |

8a. |

AB+AC=A(B+C) | (A+B)(A+C)=A+BC |

9a. | AB+AB'=A | (A+B)(A+B')=A |

10a. | A+AB=A | A(A+B)=A |

11a. | A+A'B=A+B | A(A'+B)=AB |

12a. | CA+CA'B=CA+CB | (C+A)(C+A'+B)=(C+A)(C+B) |

13a. | AB+A'C+BC=AB+A'C | (A+B)(A'+C)(B+C)=8A+B)(A'+C) |

En esta tabla A representa no sólo una variable, sino también un término

...