Apuntes de matematica. Funciones y sus gráficas

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

1. ¿Qué es una función? (diapositivas: 5–6, 12–13)

Explicación sencilla:

Una función es una relación donde a cada valor de entrada (x) le corresponde un único valor de salida (y).

Ejemplo fácil:

• Si trabajas 5 horas y te pagan $10 por hora, el salario es:

[pic 1]

2. Vocabulario importante:

3. Cómo saber si un conjunto es función (diapositivas: 13–17)

Regla clave:

Un conjunto de pares (x, y) (x, y) (x, y) es función si cada x se repite solo una vez.

Ejemplo:

[pic 2]

4. Notación de función (diapositiva: 18)

Se escribe:

[pic 3]

5. Gráfica de una función (diapositiva: 21)

¿Qué es la gráfica?

Es el dibujo de todos los puntos (x, y) (x, y) (x, y) que cumplen la regla de la función.

Regla de la recta vertical:

Si una línea vertical toca la gráfica más de una vez, no es función.

6. Cómo hallar el dominio y el contradominio (diapositivas: 6, 8–10, 26–28)

Pasos para encontrar el dominio:

1. Evita divisiones por 0:

[pic 4]

1. Evita raíces cuadradas de negativos:

[pic 5]

• Combina si hay más condiciones juntas

Contradominio (rango):

• A veces se deduce de la gráfica o del tipo de función.

        [pic 6]

7. Tipos especiales de funciones (diapositivas: 33–52)

a) Valor absoluto:

[pic 7]​

Gráfica: forma de "V", con vértice en (0,0)

b) Máximo entero (floor): Función piso

[pic 8]Redondea hacia abajo al entero más cercano.

Ejemplo:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

c) Mínimo entero (ceil): Función techo

[pic 12]

Redondea hacia arriba al entero más cercano.

[pic 13]

d) Función escalón (Heaviside o unidad):

Tiene saltos de valor. Por ejemplo:[pic 14]

e) Función signo (sign):[pic 15]

8. Funciones definidas por tramos (diapositivas: 30-32-39-52)

¿Qué es?

Una función que tiene diferentes reglas en diferentes partes del dominio.

Ejemplo:

[pic 16]

Regla para graficar:

Dibuja cada parte por separado, usando la condición dada.

REGLAS GENERALES para este tema:

OPERACIONES CON FUNCIONES Y TIPOS DE FUNCIONES

1. Operaciones con funciones (diapositivas: 58-60)

Dadas dos funciones  [pic 17]  se pueden combinar de estas formas:

Suma:

[pic 18]

Resta:

[pic 19]

Multiplicación:

[pic 20]

División:

[pic 21]

Ejemplo:

[pic 22]        

2. Función compuesta (diapositivas: 61-63)

Definición:[pic 23]

Regla para el dominio:

Debes asegurarte de que:

• x esté en el dominio de g
• y que g(x) esté en el dominio de f

Ejemplo:

[pic 24]

3. Tipos de funciones (diapositivas: 64-72)

Constante:

[pic 25]

Gráfica: línea horizontal

Lineal:

[pic 26]

Gráfica: recta con pendiente m

Polinomial:

[pic 27]

• Grado 1: lineal
• Grado 2: cuadrática
• Grado 3: cúbica

Racional:

Cociente de polinomios:

[pic 28]

Algebraica:

Usa raíces, potencias, etc.

Trascendente:

No puede escribirse con operaciones algebraicas.

[pic 29]

4. Funciones pares e impares (diapositivas: 74-76)

Par:

[pic 30]

Simétrica respecto al eje y

[pic 31]

Impar:

[pic 32]

Simétrica respecto al origen

[pic 33]

5. Traslaciones (desplazamientos) (diapositivas: 90-97)

Vertical:

[pic 34]

Ejemplo:

[pic 35]

Horizontal:

[pic 36]

Ejemplo:

[pic 37]

6. Cambios de escala y reflexiones (diapositivas: 98-106)

Estiramiento o compresión vertical:

[pic 38]

Horizontal:

[pic 39]

Reflexión:

[pic 40]

1. CAMBIO VERTICAL:

Fórmula:

[pic 41]

¿Qué pasa?

• Si [pic 42] = se estira verticalmente (se alarga hacia arriba y hacia abajo)
• Si [pic 43] = se comprime verticalmente (se aplasta hacia el eje x)

Cómo recordarlo:

• Estás multiplicando el resultado, es decir, haces que cada punto suba o baje más o menos.
• Ejemplo con raíz cuadrada:[pic 44]

2. CAMBIO HORIZONTAL:

Fórmula:

[pic 45]

¿Qué pasa?[pic 46]

• Si : se comprime horizontalmente (se aplasta hacia el eje y)
• Si  : se estira horizontalmente (se ensancha)[pic 47]

Cómo recordarlo:

• Ahora estás cambiando el valor dentro de la función (el x). Afecta en horizontal.
• Pero ¡al revés de lo que parece!

                         : comprime (porque x crece más rápido)[pic 48][pic 49]

                              : estira (porque x crece más lento)

TRUCO VISUAL (muy útil):

Imagina que tienes la función , que se ve así:[pic 50]

[pic 51]

Vertical:

• Multiplicar por 3: los puntos se estiran hacia arriba (más empinados).
• Multiplicar por 1/2: los puntos se aplastan (más anchos pero en dirección vertical).

Horizontal:

• [pic 52] los puntos se acercan al eje y (comprimido).
• [pic 53] los puntos se alejan del eje y (estirado).

REGLAS GENERALES PARA TRANSFORMACIONES[pic 54]

EJEMPLO:

Tomemos la función base:

[pic 55]

Y probemos con:

[pic 56]

¿Qué pasa?

1. X − 3: se traslada 3 unidades a la derecha
2. Multiplicación por 2: estira verticalmente
3. +1: sube 1 unidad

CONCEPTOS GENERALES

TRASLACIÓN  "Mover la figura sin cambiar su forma"

¿Qué es?

Es cuando desplazas una gráfica de un lugar a otro, sin estirarla ni girarla.

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