Guia pedagógica de límites
Fernando BetancourtInforme18 de Octubre de 2023
1.149 Palabras (5 Páginas)98 Visitas
[pic 1][pic 2][pic 3]
GUIA PEDAGOGICA DE LÍMITES[pic 4]
- Estimar el límite de la función de manera numérica.
𝑥−1[pic 5]
Deduzca el valor de 𝑥→1 𝑥2−1[pic 6]
Se observa que la función no está definida cuando 𝑥 = 1, pero esto no importa debido a que según la definición se consideran valores cercanos a 1 pero diferentes de 1.
lim
0.5 − 1
→ lim
−0.5
= 0.666667
[pic 7]
𝑥→0.5 0.52 − 1
Se calculan otros valores en la tabla:
[pic 8]
𝑥→0.5 −0.75
𝒙 < 𝟏 | 𝒇(𝒙) | 𝒙 > 𝟏 | 𝒇(𝒙) |
0.5 | 0.666667 | 1.5 | 0.4000000 |
0.99 | 0.526316 | 1.1 | 0.476190 |
0.99 | 0.502513 | 1.01 | 0.497512 |
0.999 | 0.500250 | 1.001 | 0.499750 |
0.9999 | 0.500025 | 1.0001 | 0.499975 |
Sobre la base de valores de las tablas, se infiere que: lim𝑥→1 𝑥2−1 = 0.5[pic 9][pic 10]
Hallar un límite a partir de una tabla.
Encontrar lim𝑡→0
[pic 11]
√𝑡2+9−3
[pic 12]
𝑡2
lim
𝑡→0
[pic 13]
√𝑡2+9−3 → lim[pic 14][pic 15]
𝑡
𝑡→1
[pic 16]
√12+9−3 → lim[pic 17][pic 18]
1
𝑡→1
[pic 19]
√10−3 → lim[pic 20]
1
𝑡→1
3.16227766−3 = 0.16228
1[pic 21]
𝒕 | [pic 22] √𝑡2 + 9 − 3 [pic 23] 𝑡2 | 𝒕 | [pic 24] √𝑡2 + 9 − 3 [pic 25] 𝑡2 |
±1 | 0.16228 | ±0.0005 | 0.16800 |
±0.5 | 0.16553 | ±0.0001 | 0.20000 |
±0.1 | 0.16662 | ±0.00005 | 0.00000 |
±0.05 | 0.16666 | ±0.00001 | 0.00000 |
±0.01 | 0.16667 | ±0.000001 | 0.00000 |
Se observa en la tabla los valores de la función para varios valores de 𝒕 cerca de cero. Cuando 𝒕 se aproxima a cero, los valores al parecer tienden a 0.1666666…, por lo tanto se infiere que
lim
[pic 26]
√𝑡2+9−3 = 1
[pic 27] [pic 28]
𝑡→0
𝑡2 6
Límite que no existe.
Encontrar lim𝑥→0 sin 𝑥[pic 29][pic 30]
La función 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 no esta definida en 0. La evaluación para algunos valores pequeños de[pic 31][pic 32]
𝑥 da:[pic 33]
𝑓(1) = sin 𝜋 = 0 | 𝑓 1) = sin 2𝜋 = 0 ( 2 |
𝑓 1) = sin 3𝜋 = 0 ( 3 | 𝑓 1) = sin 4𝜋 = 0 ( 4 |
𝑓(0.1) = sin 10𝜋 = 0 | 𝑓(0.01) = sin 100𝜋 = 0 |
De manera similar, 𝑓(0.001) = 𝑓(0.0001) = 0. Con base a esta información se puede inferir que:[pic 34][pic 35]
lim sin 𝜋[pic 36]
𝑥→0 𝑥
1
= 0? ? ?
La inferencia es errónea, aunque 𝑓 ( ) = sin 𝑛𝜋=0 para cualquier entero 𝑛, también es cierto[pic 37][pic 38]
𝑓(𝑥) = 1 para una infinidad de valores de 𝑥 que se aproximan a 0. Puesto que los valores de
𝑓(𝑥) no se aproximan a un número fijo cuando 𝑥 se aproxima a 0, lim𝑥→0 sin 𝜋 no existe.[pic 39][pic 40]
Función definida por partes.
Sea la 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥) = { 2𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 1 } hallar lo siguiente:
4 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) lim𝑥→1 𝑓(𝑥)
Los valores de 𝑓(𝑥) tienden a 2 cuando 𝑥 tiende a 1 por la izquierda, pero tiende a 3 cuando 𝑥 tiende a 1 por la derecha. Así, los límites izquierdo y derecho no son iguales. Por lo que se tiene: lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) = 2 lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = 3 lim𝑥→1 𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Uso de las leyes de límites.
Evalúe los siguientes límites y justifique cada paso.
a) lim𝑥→5(2𝑥2 − 3𝑥 + 4)=lim𝑥→5(2𝑥2) − lim𝑥→5(3𝑥) + lim𝑥→5 4 Límites de una diferencia y suma =2lim𝑥→5 𝑥2 − 3 lim𝑥→5 𝑥 + lim𝑥→5 4 Límite de un múltiplo
constante =2(52) − 3(5) + 4 = 39 Límites espaciales 3, 2 y 1
𝑥3 +2𝑥2−1 lim𝑥→−2(𝑥3+2𝑥2−1)
[pic 41][pic 42]
b)lim𝑥→−2
5−3𝑥 =
lim𝑥−2(5−3𝑥) Límite de un cociente
2lim𝑥→−2 𝑥3−2 lim𝑥→−2 𝑥2+ lim𝑥→−2 1[pic 43]
y múltiplos constantes
= lim𝑥→−2 5−3 lim𝑥→−2 𝑥 Límites de una diferencia, suma
...