CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS, NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS

RESUMEN

Se hace un estudio analítico sobre los objetivos fundamentales que debe tener una lección de matemáticas; para ello se hace una distinción entre conocimientos conceptual y procedimental , y su asociación con diferentes visiones sobre las matemáticas. Se afirma la necesidad de potenciar las formas de razonamiento y pensamiento matemático, abstracto, con base en andamios pedagógicos y culturales apropiados. Se puntualiza elementos pedagógicos en esa dirección y se enfatiza la relevancia de una estrategia basada en la resolución de problemas, y se reseñan aspectos de la experiencia japonesa sobre esta temática.

ABSTRACT

We analyze the main objectives for the development of a mathematics lesson, clarifying conceptual and procedural knowledge and their association to different visions about mathematics and its nature. We strongly support the relevance of the conceptual and abstract dimensions of mathematical instruction based on an appropriate pedagogical and cultural framework. The use of a problem solving strategy is strongly sup

ported, and in this context we summarize some aspects of the Japanese experience.

PALABRAS CLAVE

Educación matemática, matemáticas, pedagogía, resolución de problemas.

INTRODUCCIÓN

Uno de los temas claves de la Educación Matemática es cómo debe ser el desarrollo de la lección para generar aprendizaje efectivo (podría usarse el término "significativo", como en AUSUBEL (1968), pero dentro de una perspectiva más amplia) por parte de los estudiantes en torno al conocimiento matemático, tanto en sus contenidos como en el uso de sus métodos. De igual forma, se plantea como objetivo el fortalecimiento de destrezas en el razonamiento abstracto, lógico y matemático, cuyas aplicaciones no sólo se dan en las ciencias y tecnologías sino en toda la vida del individuo. De alguna manera, es éste el verdadero laboratorio y taller en el cual se condensa todo: aquí adquiere sentido toda la formación recibida por parte de los profesores así como las condiciones curriculares, pedagógicas, matemáticas e incluso de infraestructura que intervienen en el proceso de enseñanza aprendizaje; se invocan muchos vectores.

Vamos a concentrarnos aquí, sin embargo, en algunos aspectos propiamente pedagógicos en el desarrollo de la lección. Las preguntas emergen: ¿qué debe aprenderse en una lección de matemáticas? ¿Cuál debe ser la orientación más conveniente para lograr éxito en el aprendizaje efectivo de las matemáticas por medio de la lección? En relación con lo primero, una lección de matemáticas debe proporcionar aprendizaje en el lenguaje y la cultura matemáticos, los algoritmos y procedimientos específicos de las matemáticas, destrezas de cómputo y medición pertinentes, pero también formas de razonamiento y destrezas en la construcción de modelos de naturaleza matemática, y entrenamiento y habilidades para la formulación y resolución de problemas. Todos estos objetivos deben ser realizados. ¿Qué se debe privilegiar estratégicamente? El dilema, para empezar, se puede poner en términos de cuáles dimensiones de las matemáticas deben poseer un énfasis en los procesos de enseñanza: ¿los aspectos conceptuales o aquellos de procedimiento?

CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS, NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS

Para buscar una respuesta, en primer lugar, vamos a precisar los términos que usaremos. El conocimiento conceptual es aquel que se conecta fácilmente a otro conocimiento. Mientras tanto, el conocimiento de procedimientos, procedimental , refiere a los símbolos y las reglas que se memorizan sin relación con el entendimiento de esos símbolos y reglas. Estas dimensiones participan en la definición de los alcances de una clase. Puede llamarse este último también conocimiento algorítmico . Como bien consignan Monereo et al :

". llamamos a un procedimiento algorítmico cuando la sucesión de acciones que hay que realizar se halla completamente prefijada y su correcta ejecución lleva a una solución segura del problema o de la tarea (por ejemplo, realizar una raíz cuadrada o coser un botón). En cambio, cuando estas acciones comportan un cierto grado de variabilidad y su ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo (por ejemplo, planificar una entrevista o reducir el espacio de

un problema complejo a la identificación de sus principales elementos más fácilmente manipulables) hablamos de procedimientos heurísticos". (Monereo et al 1998)

Procedimientos heurísticos están íntimamente asociados a conocimiento conceptual.

En las visiones más tradicionales en la Educación Matemática se afirma que lo esencial es el dominio de los aspectos de cómputo antes de abordar los contenidos conceptuales. En esta visión se demanda un rendimiento rápido en el arte del cómputo, y el manejo de técnicas. Se afirma que en algún momento -siempre posterior- se tratará con los aspectos conceptuales. Sin embargo, la mayor parte de las veces sucede que el espacio destinado a los procedimientos es demasiado grande y la conexión con los conceptos, con la comprensión, se ve profundamente debilitada. De hecho, la mayoría de las lecciones que se desarrolla en Costa Rica en los niveles de primaria, secundaria y universidad enfatizan procedimientos. Las evaluaciones se suelen orientar hacia esos algoritmos y reglas. En las universidades, para ofrecer un ejemplo en este nivel educativo que podría tener incluso mayor preocupación por los aspectos conceptuales, los primeros cursos de cálculo diferencial no enfatizan el significado o aplicaciones de conceptos como los de la derivada o la integral, sino la colección enorme de reglas de derivación o métodos de integración. Los exámenes no son proyectos o construcción de modelos, sino repetición más o menos mecánica de técnicas.

Las visiones educativas más modernas, sin embargo, subrayan el carácter conceptual de las matemáticas y la importancia de relacionar los conceptos con los que el estudiante ya posee; en particular, lo que se llama el conocimiento informal que previamente los estudiantes poseen, y su bagaje cultural. Y se apunta a la utilización de situaciones matemáticas no rutinarias que exijan una elaboración no mecánica. Una orientación en esta dirección empuja hacia la heurística, aplicaciones, modelos, que conecten con los entornos sociales y físicos, recursos a la historia que permitan evidenciar el estatus cognoscitivo de los conceptos empleados, . Por supuesto, adelantando nuestra opinión, en las matemáticas coexisten ambos tipos de conocimiento, el punto es desarrollar una estrategia eficaz que favorezca el aprendizaje; sin duda, los profesores deben buscar que los estudiantes establezcan las conexiones entre el conocimiento conceptual y el procedimental.

Toda esta discusión está en correspondencia directa con la percepción que se tenga sobre las matemáticas. Si se afirma que es, por ejemplo, un lenguaje desprovisto de contacto con el mundo empírico, como en el Neopositivismo, las implicaciones son de un tipo (Ayer 1936). Si el punto de vista es logicista (como en Frege o Russell) se enfatiza la deducción, al margen de conceptos contextualizados o relaciones con el entorno (Ruiz 1990). Si lo que se subraya son sus dimensiones formales y estructurales, su consistencia por ejemplo (HILBERT), se plantea otra orientación (Ruiz 1990). Y otra visión pedagógica emerge si se piensa en las matemáticas como reflejos inductivos empíricos (MILL). Se puede pensar en las matemáticas como ciencia de patrones abstractos (Resnik 1975 y 1982). El asunto puede ser más explícito en cuanto a los procedimientos; como bien reporta Vilanova et al :

"Thompson (1992) señala que existe una visión de la matemática como una disciplina caracterizada por resultados precisos y procedimientos infalibles cuyos elementos básicos son las operaciones aritméticas, los procedimientos algebraicos y los términos geométricos y teoremas; saber matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar procedimientos e identificar los conceptos básicos de la disciplina. La concepción de enseñanza de la matemática que se desprende de esta visión conduce a una educación que pone el énfasis en la manipulación de símbolos cuyo significado raramente es comprendido." (Vilanova et al , 2001)

Otra visión de las matemáticas, cercana al constructivismo filosófico y al cuasiempirismo (a lo Imre Lakatos o recientemente Philip Kitcher o Paul Ernest; Ruiz 2003):

"Una visión alternativa acerca del significado y la naturaleza de la matemática consiste en considerarla como una construcción social que incluye conjeturas, pruebas y refutaciones, cuyos resultados deben ser juzgados en relación al ambiente social y cultural. La idea que subyace a esta visión es que "saber matemática" es "hacer

matemática". Lo que caracteriza a la matemática es precisamente su hacer, sus procesos creativos y generativos. La idea de la enseñanza de la matemática que surge de esta concepción es que los estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir de situaciones problemáticas. Estas situaciones requieren de un pensamiento creativo, que permita conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y comunicar ideas, así como probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación. Esta visión de la Educación Matemática está en agudo contraste con la anterior." (Vilanova et al 2001)

¿Qué son, entonces, las matemáticas? Las matemáticas deben verse, ya en nuestra opinión, como una ciencia natural aunque con características específicas (que incluso empujan hacia una reinterpretación de lo que son las ciencias). Las implicaciones de esto son varias: como ciencia natural, empuja una relación íntima entre las matemáticas y el mundo material y social. En términos epistemológicos: una relación mutuamente condicionante entre el objeto y el sujeto, una interacción de influjos recíprocos y cambiantes. También, se plantea una relación entre las matemáticas y las otras ciencias: una íntima vinculación teórica e histórica del conocimiento científico, lo que las hace un instrumento imprescindible para el progreso de éstas. Nuestra perspectiva de fondo:

". las matemáticas obtienen sus nociones elementales del mundo físico que siempre interviene y las operaciones o acciones que el sujeto realiza a partir de aquellas también corresponden al mundo. Las abstracciones originales, las abstracciones " reflexivas" (que son las que señala Piaget), y todos los diferentes tipos de abstracciones (siempre más o menos subjetivas) están vinculados a la realidad. En la gestación, desarrollo y utilización de los métodos de las matemáticas el sujeto nunca deja de recibir la influencia directa del objeto. Nuestra propia naturaleza posee características generales biológicas o físicas que corresponden al resto del universo. . los resultados matemáticos no son simples generalizaciones inductivas ni tampoco son réplicas mentales impresas por el objeto en un sujeto pasivo; varios factores siempre interactúan. La aplicabilidad o la armonía de las matemáticas con el mundo no se puede explicar con énfasis unilaterales colocados ya sea en el papel del sujeto o en el del objeto. Para nosotros: en algún lugar de la relación entre ambos es que se encuentra la mejor explicación." (Ruiz 2000)

Podemos añadir que las matemáticas refieren al análisis de situaciones reales y a los procesos para representarlas en una forma simbólica abstracta adecuada (Davis y Hersh 1981).

Si adoptamos estos últimos puntos de vista, la conclusión es tajante: el propósito de la Educación Matemática no puede ser planteado prominentemente como la memorización de hechos y el desarrollo de cálculos y sus destrezas asociadas. Es decir, una formación basada en los aspectos de procedimiento, la repetición y memorización de éstos, debilita las posibilidades para crear habilidades en el razonamiento matemático y corresponder apropiadamente con la naturaleza de ésta como disciplina cognoscitiva. El asunto es más grave aun: una Educación Matemática basada en procedimientos y manipulación de símbolos (a veces sin sentido), con poca relación con los conceptos, formas de razonamiento y aplicaciones, es un poderoso obstáculo para que los estudiantes puedan comprender el valor y la utilidad de las matemáticas en su vida.

Es posible estar de acuerdo con una aproximación que enfatiza los aspectos conceptuales en la formación matemática, sin embargo una cosa es declararlo y otra cosa es realizarlo. En la mayoría de ocasiones las lecciones se desarrollan dando dominantemente un gran espacio a la solución mecánica de ejercicios rutinarios, con poca presencia de problemas o proyectos que involucren varias formas de razonamiento o diferentes disciplinas matemáticas. Los sistemas de evaluación, por ejemplo, tienden a favorecer los procesos memorísticos y la presencia mayoritaria de los llamados problemas de un solo paso. Son comunes en varios países, en particular en pruebas masivas, los exámenes estandarizados de selección única que, en general, no poseen ejercicios de varios pasos mentales. No es, por supuesto, que la metodología de la selección única en exámenes, normalmente a corregir por lectora óptica, no pueda poseer ejercicios de una mayor complejidad. Lo que sucede es que el sistema fomenta evaluaciones con ejercicios de un solo paso, cargados de repetición, aplicación rutinaria y mecánica. Para dar un ejemplo: las pruebas del Bachillerato en Costa Rica. Esto, por supuesto, a la larga condiciona los procesos educativos de una manera más global. La formación se restringe a contenidos y mecanismos que serán evaluados con este tipo de estrategias de evaluación, con debilidades profundas en la profundidad y utilidad de las matemáticas. Otro ejemplo: en la clase se suelen evadir los problemas complejos porque éstos requieren un tratamiento más amplio, que consume normalmente más tiempo de la lección. Y la estructura de las jornadas educativas y los currículos, y la misma presión de pruebas nacionales, parecieran no permitir adoptar otro tipo de estrategia. Varios factores en los curricula dominantes de diferentes maneras apuntalan una enseñanza conductista cargada de metodologías y didácticas preprogramadas. Todo esto, presente en la formación matemática de muchos países, constituye uno de los problemas más graves para que un sistema educativo pueda responder a los retos de un planeta sometido a una extraordinaria tensión y en donde el conocimiento se ha vuelto la piedra de toque (Ruiz 2001).

Una vez que se ha establecido el valor estratégico de los razonamientos matemáticos abstractos, y el significado de los conceptos, el debate recae naturalmente sobre cuál debería ser la mejor orientación pedagógica para lograr el aprendizaje de las matemáticas y su mejor utilización dentro de un sistema educativo.

En lo que sigue, entonces, vamos a puntualizar algunos elementos metodológicos para fortalecer una orientación en ese sentido. Empezamos por lo más general.

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