Circunferencia

GEOMETRÍA ANALÍTICA

4. LA CIRCUNFERENCIA

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

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LA CIRCUNFERENCIA

CONTENIDO

1. Ecuación común de la circunferencia

Ejemplos

2. Ecuación general de la circunferencia

2.1 Análisis de la ecuación

3. Ejercicios

Estudiaremos cuatro curvas que por su importancia y aplicaciones en algunas ramas de la ciencia, es necesario considerarlas. Cada una de estas curvas se describirá como un lugar geométrico y se demostrará que cada una de ellas es la gráfica de una ecuación cuadrática en x o y, que se puede representar como caso especial de la ecuación general siguiente:

0FEyDxCyBxyAx 22 += ++++

En la cual los coeficientes A, B y C no son todos cero.

Estas cuatro curvas son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola, llamadas CÓNICAS debido a que se pueden describir como las curvas que se generan al intersectarse un plano con un cono circular.

De las cuatro curvas cónicas, la circunferencia es la más simple y geométricamente se describe como la intersección de un cono recto circular y un plano paralelo a la base del cono, como se muestra en la Figura 1.

DEFINICIÓN. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado centro.

1. ECUACIÓN COMÚN DE LA CIRCUNFERENCIA.

Para deducir la ecuación de esta curva, cuyas características geométricas son bien conocidas, supondremos que el centro es el punto C(h, k) y que el radio es una constante a, como se muestra en la Figura 2.

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Sea M(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia con centro en C(h, k) y radio igual a a. Por definición, el radio es una constante, por lo que la condición de movimiento de M es:

a = CONSTANTE = C M (1)

Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

) k - y ( +) h - x ( = C M 2 2

Sustituimos en (1):

a =)k - y ( +) h - x ( 2 2

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, nos queda:

a =) k - y( +) h - x ( 2 2 2 ................................................................................................(I)

Esta es la ecuación común de la circunferencia, correspondiente a una ecuación cartesiana, cuyos parámetros, además del radio a, son la abscisa h y la ordenada k del centro, cuyas coordenadas deben tomarse siempre con signo contrario al que tenga en la ecuación.

EJEMPLOS

1. En el caso de la circunferencia 36 = )2 + y( + ) 3 - x ( 2 2 , tendremos:

h = 3 , k = -2 y que a2=36. Por tanto: a = 6

Es decir:

Centro: C(3,-2); Radio: a = 6

2. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en (5,2) y radio igual a 4.

SOLUCIÓN

De acuerdo con los datos tenemos: h = 5, k = 2 y a = 4.

Sustituyendo en la ecuación (I) estos valores, se tiene:

16 =) 2 - y( +) 5 - x ( 2 2

3. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en (-3,4) y radio igual a 5.

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SOLUCIÓN

De acuerdo al enunciado se tiene:

h = -3; k = 4 y a = 5. Por tanto: a2 = 25

Según la ecuación (I), sustituyendo estos valores tenemos:

25 = ) 4 - y( +)3 + x ( 2 2

Es perfectamente claro que cuando una circunferencia tiene su centro en el origen, h = 0 y k= 0, la ecuación simplemente es:

a =y +x 2 2 2

La posición y tamaño de la circunferencia depende de las tres constantes arbitrarias h, k y a.

2. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.

En muchos problemas se presenta desarrollada la ecuación de la circunferencia, en cuyo caso interesa saber conocerla y poder determinar su centro y su radio. Por lo pronto vamos a desarrollar la ecuación común (I) y establecer ciertas conclusiones.

0 =a -k + y k 2 - y +h + x h 2 -x 2 2 2 2 2

Esta ecuación no se altera si ambos miembros se multiplican por la constante A.

0 =a A- k A+ y k A 2 - y A+ h A+ x h A 2 -xA 2 2 2 2 2

Dado que: ) a A - k A+h(A k A 2 - , h A 2 - 2 2 2 y son constantes, podemos escribir la ecuación como:

0 = F + yE + x D +y A+xA 2 2 ...................................................................................(II)

En donde:

) a -k+h ( A =a A-k A +h A= F k A 2 - = E h A 2 - = D 2 2 2 2 2 2

Entonces conociendo los valores de D, E, y F, se pueden encontrar las coordenadas del centro y la longitud del radio de una circunferencia.

2.1.- ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN.

Las

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