El Calculo Moderno De Una Y Varias Variables Con La Razon De Continuidad

PRÓLOGO

Estimado(a) lector(a), el libro que en este momento se está poniendo en sus manos no está pensado para enseñarle CÁLCULO. Está pensado para que usted, como matemático, tenga una idea de cómo sería la enseñanza del nuevo cálculo, o CÁLCULO MODERNO, con la razón de continuidad. Dicha razón tendrá, por el momento, el símbolo prestado del copyright, ?. Se ha tomado este símbolo, momentáneamente, por ser muy parecido a un cero y, además, tiene una c en su interior; por lo que lo podemos llamar: el cero (0) de la continuidad (c) o, por darle un nombre momentáneo, grillete o eslabón. Ahora bien, ¿cuáles son las razones para enseñar el cálculo con un número que alguien pudiera pensar que no existe en la realidad? Estas razones se explican a continuación.

En primer lugar, este número sí existe y su demostración de existencia es muy sencilla; claro está, una vez que ha sido rota la camisa de fuerza que significaba la hipótesis del continuo del gran George Cantor. Ya que al demostrarse que el conjunto N tiene más elementos que N*, entonces podemos darle un símbolo al último natural; al igual que se ha hecho con el primer transfinito. No obstante, si alguien pretendiera imponer la idea de que es imposible darle un símbolo al último natural porque éste no existe, entonces tampoco se le debe dar un símbolo al primer transfinito, porque dicho primer transfinito es mayor que todo natural. Y si no existe el último natural (en lo infinito), tampoco existirá un número que es mayor que éste.

En segundo lugar, si este número (razón de continuidad) no existiera, sería imaginario, tal como lo es el número i = raíz de -1 . Y ya conocemos la impresionante teoría de números complejos que dio como resultado aceptar al número i, el cual no existe sino en la abstracción del matemático; otro tanto sucedería con el número ?.

Ahora bien, alguien se podría preguntar ¿qué pasó, entonces, con las demostraciones de Godel y Cohen sobre la hipótesis del continuo? La respuesta no la sé, pero, podría ser muy simple: ese término denominado infinito. En efecto, cada vez que se trabaja con una operación cuyos pasos son numerables, ésta se termina en el infinito; cuando n toma su máximo valor, el cual, en este texto, se denota por w (? = À0 – 1). Sin embargo, al no conocer esto, decimos que dicha operación continúa indefinidamente (sin fin) y que, por tanto, contiene a todos los pasos posibles. Este es el error que todos cometemos por culpa del bendito término infinito. Y de eso no escapó K. Godel en su demostración sobre la hipótesis del continuo. Sea el motivo que fuere, Godel hizo algo y ya está hecho. Describamos ahora, a groso modo, los beneficios que la razón de continuidad le proporciona al Cálculo diferencial e integral.

En lo que concierne a la teoría de límites, la razón de continuidad nos permite calcular, con relativa facilidad, el límite de algunas indeterminaciones sin recurrir a la derivación. Asimismo, permite demostrar las fórmulas de L"hopital con mucha sencillez.

En la teoría de la derivación, nos permite prescindir del engorroso límite cuando Dx tiende a cero, puesto que Dx no se convierte en cero sino en ?, o en nÓ (nÎN*). Por otra parte, las fórmulas de las derivadas se deducen con mucha sencillez sin apelar a la teoría de límite. No queriendo decir con esto que ya la teoría de límites no deba estudiarse, sino que no se necesita en gran medida en la derivación.

En cuanto a la integración, nos permite prescindir de las fastidiosas particiones de conjuntos, las cuales involucran a la demostración de igualdad de las sumas, inferior y superior,

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