La Esperanza Matemática

Introducción

Desde la antigüedad más remota, los juegos de azar y de suerte han interesado al hombre; se sabe que el uso de las tabas es tan viejo como la humanidad misma y parece ser el antecesor de los dados y de la ruleta. El primer dado conocido es de arcilla cubierta de cuero, fue encontrado al norte de Irak y data de principios del tercer milenio a.C.

Los griegos, que tenían una diosa de la suerte llamada Tique, de origen egipcio construyeron dados poliédricos que recordaban los sólidos platónicos, algunos se conservan en el museo del Louvre, en París.

Según la Biblia, unos 1000 años a.C., los israelitas eligieron un rey por sorteo (Samuel 10:20-24).

Pero el cálculo de probabilidades entró muy lentamente a formar parte del campo de las matemáticas. El primer documento conocido donde se analizan los juegos de azar en forma sistemática es el Líber de ludo aleae (Manual sobre juegos de azar), escrito por Gerolamo Cardano alrededor de 1550, pero publicado unos cien años después de su muerte. El gran Galileo también se interesó por los juegos de azar y escribió un folleto titulado Sopra le scopere dei dadi(Descubrimientos sobre los juegos con dados) publicado en 1718.

Les menciono esta historia porque el tema del que les voy a desarrollar es la esperanza matemática y por ende tenemos que saber que parte de lo que trata, surge de esto.

La Esperanza Matemática

Los conceptos de algebra, medida (en particular las medidas de probabilidad), y función medible (en particular las variables aleatorias), han surgido de los esfuerzos hechos en el siglo XIX y principios del XX para ampliar el concepto de integral a clases cada vez más amplias de funciones.

La ampliación definitiva fue llevada a cabo por Lebesgue, después de que Borel abriera el camino. Lebesgue trabajo con la medida especial conocida como medida de Lebesgue". Radon aplico el mismo punto de vista, trabajando con medidas de “Stieljes-Lebesgue".

Por último, Frechet, usando aun el punto de vista de Lebesgue, prescindió de las restricciones sobre el espacio de medida sobre el que estaban definidas las funciones numéricas a integrar.

La axiomática de la probabilidad de Kolmogorov, introduciéndola como una medida sobre una algebra de los “sucesos", supuso un importante avance de la Teoría de la Probabilidad, que tuvo desde entonces el importante apoyo de la Teoría de la Medida en su evolución. Así, el concepto de Esperanza Matemática, que juega en el Cálculo de Probabilidad un papel preponderante como medida de centralización, paso de ser una simple media aritmética ponderada, calculable en ciertos casos, a su generalización como una integral respecto de una medida de probabilidad.

Al tiempo, la Teoría de la Probabilidad ha enriquecido notablemente a la Teoría de la Medida no solo por la justificación práctica que supone, sino por la abundancia de nuevas ideas que ha introducido y por los nuevos métodos de demostración que ha impuesto.

Se puede afirmar que el primer estudio sistemático del valor esperado se debe a Huygens (en su obra Libellus de Ratiotiniis in Ludo Aleae, de 1657), que calcula el valor justo de un juego a partir de una respuesta obvia en ciertas situaciones simétricas, y generalizando el valor esperado obtenido a cualquier situación. Comienza suponiendo que: Si se espera ganar a o b, cualquiera de los dos con igual probabilidad, entonces la expectativa vale (a b + ) 2, es decir, la semisuma de a y b. Generalizando este razonamiento a n posibles resultados a1…an, teniendo todos la misma probabilidad, conduce a un valor esperado igual a (a1 + +an ) .

Posteriormente, Huygens considera el caso en que las posibles ganancias son a y b, pero con probabilidades distintas. Supone que hay p oportunidades de ganar a, y que oportunidades de ganar b. Por tanto, generalizando de las proposiciones anteriores, considerando un juego equivalente en el que cada uno de los p q + resultados ocurre con la misma probabilidad, pero en p de ellos se obtiene una ganancia a y en los que restantes una ganancia b, el valor esperado será igual a

En definitiva, se utilizaba una idea similar a la acepción vulgar del término esperanza. Si

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