ESPERANZA MATEMATICA

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA

PROFESOR BACHILLERES

ING. PETROLEO

SAN TOME, MAYO 2013

INTRODUCCIÓN

La distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad.

Una variable aleatoria es un valor numérico que Corresponde a un resultado de un experimento aleatorio. Algunos ejemplos son: número de caras obtenidas al lanzar seis veces una moneda

Las variables aleatorias, como las estadísticas, pueden ser discretas o continuas.

Las variables aleatorias permiten definir la probabilidad como una función numérica (de variable real) en lugar de como una función de un conjunto dado.

Se dice que una variable aleatoria sigue una distribución uniforme si la función de densidad es constante en el intervalo en el que se encuentran todos los valores de la variable, generalmente, este tipo de variables van asociadas a experimentos en los cuales se cuenta el número de veces que se ha presentado un suceso o donde el resultado es una puntuación concreta.

Las distribuciones de probabilidad pueden basarse en consideraciones teóricas o en una estimación subjetiva de la posibilidad. Se pueden basar también en la experiencia.

• DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETA

Dado un espacio probabilístico (Ω, S, Ρ), y una variable aleatoria X definida

En él, decimos que X es una variable aleatoria discreta si el conjunto:

X (Ω) = {X (ω), ∀ ω∈Ω,}

es finito ó infinito numerable.

Esto equivale a que una variable aleatoria X es de tipo discreto, si su función de distribución es escalonada, es decir, es constante salvo un conjunto de puntos, a lo sumo infinito numerable.

• ESPERANZA MATEMATICA Y VARIANZA DE V.A. DISCRETAS.

La media es por excelencia la medida de resumen de una variable estadística y bajo ciertas condiciones (poca dispersión) es un buen representante de toda la distribución de frecuencias. Vamos a desarrollar ahora la media referida a una distribución de probabilidades, que es lo que llamamos esperanza matemática de una variable aleatoria (también llamada valor medio, valor esperado ó media esperada). La denominación de esperanza tiene sus raíces históricas en referirse a la ganancia que un jugador esperaba obtener en un juego de azar.

Ejemplo: Al lanzar un dado, el jugador recibirá tantos miles de pts. Como indique el dado si el número obtenido es impar y pagará a la banca igual número de miles de pesetas que indique el dado si el número obtenido es par. En un número grande de jugadas, n, podemos asignar (intuitivamente/subjetivamente) a cada cara del dado una probabilidad de n/6 de obtener dicha cara.

Después de jugar n veces la ganancia aproximada del jugador debe ser:

Ganancia después n jugadas=1x 0/6–2x n/6+3 x n/6 – 4 x n/6 + 5 x n/6 – 6 x n/6= - 3n/6 Es decir, ganará 1 mil pesetas en las n/6 jugadas donde debe salir un 1, perderá 2 mil pesetas en las n/6 jugadas donde debe salir un 2, ...Y su ganancia media esperada por jugada será la ganancia total esperada de las n jugadas dividida por el número de jugadas: Ganancia esperada por jugada=(-3n/6)/n=-3/6= -0,5 Luego espera obtener –0,5 miles de pesetas por jugada, es decir, espera perder 500 pesetas por jugada: por tanto el juego no le es favorable.

(Propuesto: Determinar la ganancia esperada después de n jugadas si el jugador gana al obtener par y pierde al obtener impar). Si construimos la variable aleatoria X, ganancia del jugador, esta tendrá la siguiente función de probabilidad:

X: 1 P(X=1)=1/6

-2 P(X=2)=1/6

3 P(X=3)=1/6

-4 P(X=4)=1/6

5 P(X=5)=1/6

-6 P(X=6)=1/6

La ganancia esperada, esperanza de X, que designaremos por E(X), será la suma de los valores de la variable multiplicados por su probabilidad:

E(X)= 1 1/6 - 2 1/6 + 3 1/6 – 4 1/6 + 5 1/6 – 6 1/6 = -0,5.

Así introducida, podemos definir,

Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x1, x2,..., xn,... y cuya función de probabilidad es fX. Se llama esperanza matemática de X y se nota E(X) al número:

E(X) = Σ xi fX (xi) = Σ xi P(X=xi)

La esperanza matemática E(X), existe siempre que Σ ⏐xi ⏐ fX (xi) < ∞.

• DISTRIBUCION BINOMIAL

Supongamos, que se repite n veces el mismo experimento de Bernouilli y que en todos ellos la probabilidad de éxito, p, es la misma. Diremos entonces que hemos realizado n tiradas de Bernouilli de parámetro p. Llamemos X a la variable que asocia el numero de éxitos obtenidos en las n tiradas. Pues bien, a la distribución que sigue dicha variable se le denomina Distribución Binomial de parámetros n y p, B(n, p). El parámetro n indica el número de tiradas (que será un número entero positivo) y el parámetro p, es la probabilidad de éxito en cada prueba( 0<p<1). La variable asociada al experimento, X, así definida podrá tomar los valores 0,1,2,..,n (número de éxitos posibles en n tiradas). La probabilidad de obtener k éxitos, es la probabilidad P((X=k). Uno de los sucesos con el que obtenemos k éxitos es aquel en que obtenemos k éxitos en las k primeras pruebas y fracaso en las n-k pruebas restantes:

K n-k

AA.........AAc...................Ac

La probabilidad de este suceso (suponemos que las pruebas son independientes) es:

k n-k k n-k P(AA.........AAc...................Ac )= P(A)........ P(A) P(Ac)…………..P(Ac) = pk (1-p)n-k

Ahora bien, este es solamente uno de los sucesos en los que aparecerán k éxitos y n-k fracasos, es decir dicha circunstancia se producirá en cualquier reordenación de la secuencia anterior.

Deberemos preguntarnos cuantas reordenaciones posibles existen: es decir cuántos subconjuntos de k elementos (donde no importa el orden) pueden formarse con n elementos.

• ESPERANZA MATEMATICA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL.

Ejemplo: Un jugador de baloncesto tiene un porcentaje (histórico) de aciertos en tiros libres del 85%. Si lanza 10 libres. ¿Cual es la probabilidad de que enceste al menos 3?:

Solución: Cada lanzamiento es una prueba de Bernouilli. El éxito es el suceso encestar y la probabilidad de éxito es de 0,85. Lanzar 10 veces a canasta es repetir 10 pruebas de Bernouilli, es decir la variable X que asocia a los 10 lanzamientos el número de canastas tomará los valores 0, 1,2,...,10 y seguirá una distribución Binomial de parámetros n=10 y p=0,85.

La probabilidad de conseguir más de tres canastas será:

P(X>3)= P(X=3)+P(X=4)+....+P(X=10)= ΣP(X= k) con k>3

P(X>3)= 1 - P(X<3) = 1 – P(X<2)= 1- FX(2)

Función de distribución FX: la función de distribución queda determinada:

FX(x)=P(X<x) (se obtiene en tablas)

Esperanza Matemática:

E(X) = np Varianza:

Var(X) ≡σ2= n p q

(La variable aleatoria es la suma de n variables aleatorias independientes de Bernouilli de parámetro p)

• DISTRIBUCION DE POISSON

La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (1781-1840), francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida. La distribución de Poisson se corresponde con la extensión de una distribución Binomial La distribución de Poisson se corresponde con una variable aleatoria discreta que indica el número de veces que aparece un determinado suceso A en un periodo de tiempo dado. El fenómeno aleatorio debe verificar las dos propiedades siguientes: i) Es un proceso sin memoria, esto es el hecho de que el evento aparezca con anterioridad no afecta a que pueda o no producirse en instantes posteriores. ii) El proceso es estable, es decir, a lo largo del tiempo el número medio de veces que se ha producido el suceso es constante por unidad de tiempo. Algunos fenómenos aleatorios cuyo comportamiento probabilístico se ajusta a esta distribución son, por citar los más típicos: el número de llamadas que llegan a una central telefónica en una hora, el número de coches que entran a repostar en una gasolinera (en un intervalo de tiempo), el número de personas que son atendidas en una ventanilla durante un día, el número de personas que llegan a la cola de una caja en un supermercado.

• ESPERANZA MATEMATICA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCION DE POISSON.

Se trata de un modelo discreto, pero en el que el conjunto de valores con probabilidad no nula no es finito, sino numerable. Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su función de densidad viene dada por:

Como vemos, este modelo se caracteriza por un sólo parámetro λ, que debe ser positivo.

Esperanza: E(X) = λ.

Varianza: V(X) = λ.

• DISTRIBUCION GEOMETRICA

La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera. También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí.

Proceso experimental del que se

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