Numeros Complejos unidad 1

UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS

1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

 Los algebristas de los siglos XV y XVI, al buscar una solución para algunas ecuaciones de segundo grado, por ejemplo  se encontraron con .[pic 1][pic 2]

Afirmaban que las ecuaciones no tenían solución, ya que no hay ningún número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de "definir" nuevos números de la forma:   donde  y  son números reales e  es  , que permitieran resolver cualquier ecuación de segundo grado. Estos nuevos números se llaman números complejos (ℂ).[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Ejemplo:

La ecuación de segundo grado:   tiene como solución:  [pic 8][pic 9]

 Que expresaremos como:  [pic 10]

Se llama número complejo a toda expresión de la forma  donde  y  son números reales; i es la unidad llamada imaginaria, definida por las ecuaciones:   o ;  a  es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo.[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Si a = 0, el número complejo 0 + b.i = b.i, es un número imaginario puro; si b = 0, se obtiene el número real

a + 0.i = a

Dos números complejos son iguales si: (a + b.i) = (c + d.i) ⇔ a = c; b = d  es decir, si son iguales sus partes reales e imaginarias por separado.

Un número complejo es igual a cero si: a + b.i = 0 ⇔ a = 0; b =0

Ejercicios 1.1

1)

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2)

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Ya que

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Por lo tanto

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3)

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Los angulos que forman 2 lados de un triangulo quilatero son de radianes, luego hay quie avanzar  Por lo tanto, como uno de los 2 vertices es  se tiene que [pic 32][pic 33][pic 34]

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Son los otros dos. En forma binomica

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1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS.

ADICCIÓN

Dados los complejos

Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)

SUSTRACCIÓN

Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo:

Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)

MULTIPLICACIÓN

Dados los complejos

Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

POTENCIACIÓN

La potenciación de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicación reiterada:  Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2…… (a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.

FORMA BIÓNOMICA

La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi

OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA BINOMICA: 

La suma y diferencia de numeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si. 

• +(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i
• -(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i 

MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS COMPLEJOS

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

DIVISIÓN CON NÚMEROS COMPLEJOS

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este. 

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Ejercicios:

1) [pic 45]

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2)

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Agrupando los mismos términos y aplicando la propiedad  obtenemos,[pic 51]

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3)

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1.3 POTENCIAS DE “I”, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO.

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

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Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplo

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VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

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Ejercicios 1.3

1)

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2)

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3)

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Por propiedad del argumento

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1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO.

FORMA POLAR

El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.

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