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INTRODUCCIÓN

Con el presente trabajo, se profundizaran temas de gran importancia como son las funciones, por lo tanto es de vital importancia que conozcamos su definición, características y clasificación para un correcto uso de estas en todas las áreas de las matemáticas.

También se abordará el tema Trigonometría, que estudia y analiza las identidades y ecuaciones trigonométricas, e identidades fundamentales temas de gran importancia para fortalecer los conocimientos de matemáticas y así poder consolidar las competencias cognitivas muy importantes y necesarias para los próximos cursos y para el desarrollo académico de cualquier profesional

EJERCICIO 1

De la siguiente elipse 4x^2+y^2-8x+4y-8=0. Determine

Centro

Focos

Vértices

(4x^2-8x+ )+(y^2+4y+ )=8

4(x^2-2x+ )+(y^2+4y+ )=8

4(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=8+4(1)+4

4〖(x-1)〗^2+〖(y+2)〗^2=16

〖(x-1)〗^2/4+〖(y+2)〗^2/16=1

〖(x-1)〗^2/2^2 +〖(y+2)〗^2/4^2 =1

El eje mayor es vertical, donde h=1, k=-2, a=4, b=4 y

c=√(a^2-b^2 )=√(16-4)=√12=2√3

Se obtiene lo siguiente:

centro=(1,-2)

vértices=(1,-6) y (1,2)

focos=(1,-2-2*√3) y (1,-2+2*√3)

EJERCICIO 2

2. Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud = 6.

Solución:

De los datos que me dan puedo deducir: Como me dicen que la longitud del eje menor es 6 entonces los vértices que me dan corresponden a los vértices del eje mayor.

Para mayor ayuda escribo los datos en un plano cartesiano:

Datos: v1 (3,1) v2 (3,9), de esto podemos deducir que la elipse es vertical.

El eje menor es igual a 2b; 2b=6 =>b=6/2 =>b=3

Para hallar el eje mayor, nos valemos de la gráfica, contando los espacios del vértice 1 al vértice 2

El eje mayor es igual a 2a =8 =>a=8/2 =>a=4

Con estos datos tengo el centro => c= (3,5)

La ecuación general para esta grafica es: 〖(x-h)〗^2/b^2 +〖(y-k)〗^2/a^2 =1

Resultado:

〖(x-3)〗^2/3^2 +〖(y-5)〗^2/4^2 =1 =>〖(x-3)〗^2/9+〖(y-5)〗^2/16=1

EJERCICIO 3

4x^2-9y^2-16x-18y-29=0

4x^2-16x+16-9y^2+18y-9-29-16+9=0

4(x^2-4x+4)-9(y^2+2y+1)-36=0

4(x^2-2)^2-9(y^2+1)^2=36

(x-2)^2/9-(y+1)^2/4=1

Centro= (2,-1)

a= 3

b= 2

c^2=a^2+b^2

c^2=9+4

c^2=13

c=√13

Vértice= (h±a,k)

(2±3,-1)

Foco= (h±c,k)

(2±√13,-1

EJERCICIO 4

Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas: V1 (1,11) y V2 (1,-15),

F1 (1,12) y F2 (1,-16).

V_1 (1,11) y V_2 (1,-15)

F_1 (1,12) y F_2 (1,-16)

V_1 (1,11)=V_1 (h,k+a)

V_2 (1,-15)=V_2 (h,k-a)

⇒h=1 y k+a=11

(k-a=-15)/(2k=-4)

⇒k=(-4)/2=-2

k+a=11

⇒a=11-k=11-(-2)

⇒a=13

F_1 (1,12)=F_1 (h,k+c)

⇒k+c=12⇒c=12-k

c=12-(-2)

c=14

Luego,

b^2=c^2-a^2

=(14)^2-(13)^2=196-169

⇒b^2=27

Finalmente, como el eje transverso de la hipérbola es paralelo al eje y: la ecuación canónica es de la forma:

((y-k)^2)/a^2 -((x-h)^2)/b^2 =1

⇒((y+2)^2)/169-((x-1)^2)/27=1

...