Filosofía de la Matemática

Filosofía de la Matemática

Foco

Construcción   histórica del  conocimiento  matemático y cuestionamiento filosófico sobre su  fundamentación, su método, su  verdad, y  su progreso.

Preguntas

¿De qué  hablan las proposiciones de la matemática? ¿Por qué creer en las proposiciones de la  matemática? ¿Cómo se  investiga en matemática? ¿Cuál es la relación de la matemática con la realidad? ¿Cuándo un sistema axiomático es consistente? ¿Cómo se intenta resolver el problema de la consistencia de la matemática? ¿Se puede formalizar toda la matemática?

Filosofía

Realismo. Empirismo. Racionalismo. Inductivismo. Logicismo. Formalismo.Neointuicionismo. Estructuralismo

Teorías

Concepciones matemáticas de Ahmés, Tales, Pitágoras y Aristóteles. Axiomática clásica. Teoría del conocimiento (Kant). La teoría del orden. La teoría del orden total. Lógica  elemental. Geometría Analítica de Descartes y Fermat. Teoría clásica de conjuntos de Cantor. Axiomática de Peano. Lógica de Russell y Frege. Los metateoremas de Gödel. Teoría de los Tipos. Geometría no euclideana.

Principios

Según Aristóteles: 1- La ciencia se divide en disciplinas  que caracterizan cierto tipos de objetos y que tienen en común la manera en que se ordena el conocimiento. 2-  Las afirmaciones de la ciencia son verdaderas, generales y necesarias. 3- Existe un número finito de afirmaciones de la ciencia que se aceptan de por sí. Euclides: Sus razonamientos están conformados por definiciones, postulados o axiomas y nociones comunes. Hilbert: Formaliza  la geometría obteniendo cinco grupos de axiomas a partir de los cuales se pueden demostrar resultados clásicos de la Geometría de Euclides. Kant: Las geometrías no euclidianas eran puramente “imaginarias”. Gauss, Bolyai, Lobachevsky y Riemman consideran que no se genera contradicción al negar el quinto postulado de Euclides y aceptar su negación como verdadera. Hay dos tipos de conocimientos, el que se adquiere por los sentidos y el verdadero conocimiento, aquel que está fundamentadoEl problema de la consistencia de las Geometrías no euclideanas se reduce por métodos relativos sucesivos a la consistencia de la lógica.

Conceptos

Realidad. Objetos matemáticos. Objetos concretos. Estructuras. Intuición. Formalización. Geometría euclideana. Postulados. Axiomas. Hiperbólica. Geometría  elíptica. Geometría  parabólica. Teorema. Sistema  axiomático. Matemática formal.   Matemática aplicada. Demostraciones. Propiedades sintácticas y semánticas de los sistemas axiomáticos. Consistencia. Completitud. Saturación. Independencia. Decidibilidad sintáctica. Satisfactibilidad. Categoricidad semántica. Completitud semántica. Verdad lógica. Formalización. Cuasiproposiciones. Paradojas y antinomias. Sistema axiomático. Modelo absoluto; modelo relativo, modelo hipotético. Lógica elemental. Lógica superior. Correspondencia biunívoca. Metateoremas .Convencionalismo.

Afirmaciones

de valor

Desde Ahmés a  Platón, y aún hoy, toda actividad de los matemáticos y los resultados  obtenidos estaban, y están signados, por la necesidad de que constituyan “verdades universalmente justificadas”.

Afirmaciones

de conocimiento

 Un sistema axiomático es consistente cuando no es posible derivar una contradicción a partir de sus axiomas. El problema de la consistencia de la matemática se intenta resolver reduciendo a través de distintos modelos relativos desde la geometría euclideana hasta la lógica. Hasta ahora no se ha podido formalizar toda la matemática