La lógica proposicional

Lógica proposicional

La lógica proposicional o lógica de orden cero es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.1

La lógica proposicional trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o variables interpretables como entidades. En lógica proposicional si bien no hay signos para variables de tipo entidad, sí existen signos para variables proposicionales (es decir, que pueden ser interpretadas como proposiciones con un valor de verdad de definido), de ahí el nombre proposicional. La lógica proposicional incluye además de variables interpretables como proposiciones simples signos para conectivas lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica puede analizarse la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.2

Índice [ocultar]

1 Introducción

1.1 Conectivas lógicas

1.2 Leyes notables en lógica

1.3 Límites de la lógica proposicional

2 Dos sistemas formales de lógica proposicional

2.1 Sistema axiomático

2.1.1 Alfabeto

2.1.2 Gramática

2.1.3 Axiomas

2.1.4 Reglas de inferencia

2.1.5 Ejemplo de una demostración

2.2 Deducción natural

2.2.1 Ejemplo de una demostración

3 Lenguaje formal en la notación BNF

4 Semántica

4.1 Tablas de verdad

5 Formas normales

6 La lógica proposicional y la computación

7 Aristóteles con respecto al estudio de la lógica

8 Véase también

9 Notas y referencias

10 Bibliografía

11 Enlaces externos

Introducción[editar · editar código]

Considérese el siguiente argumento:

Mañana es miércoles o mañana es jueves.

Mañana no es jueves.

Por lo tanto, mañana es miércoles.

Es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones «mañana es miércoles» y «mañana es jueves», porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecer válido. Por ejemplo:

Está soleado o está nublado.

No está nublado.

Por lo tanto, está soleado.

En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones «o» y «no». Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podría ser que los argumentos dejaran de ser válidos. Por ejemplo:

Ni está soleado ni está nublado.

No está nublado.

Por lo tanto, está soleado.

Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas. La lógica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estas expresiones, llamadas conectivas lógicas. En cuanto a las expresiones como "está nublado" o "mañana es jueves", lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc. Así, los dos primeros argumentos de esta sección podrían reescribirse así:

p o q

No q

Por lo tanto, p

Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, puede reescribirse así:

Ni p ni q

No q

Por lo tanto, p

Conectivas lógicas[editar · editar código]

Artículo principal: Conectiva lógica.

A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas en lenguaje formal.

Conectiva Expresión en el

lenguaje natural Ejemplo Símbolo en

este artículo Símbolos

alternativos

Negación no No está lloviendo.

Conjunción y Está lloviendo y está nublado.

Disyunción o Está lloviendo o está soleado.

Condicional material si... entonces Si está soleado, entonces es de día.

Bicondicional si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.

Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado.

Disyunción excluyente o bien... o bien O bien está soleado, o bien está nublado.

En la lógica proposicional, las conectivas lógicas se tratan como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica «no» es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función «no»

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