LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL

CONCEPTO DE PROPOSICIÓN

Se llama proposición a todo enunciado respecto del cual se disponga de un criterio que nos permita afirmar que su contenido es verdadero (V) o falso (F).

A toda proposición se le puede asignar uno de los dos valores: verdadero (V) o falso (F), pero nunca ambos a la vez.

Son ejemplos de proposiciones:

En matemáticas, algunas proposiciones reciben nombres especiales.

Destacaremos, como más importantes, los llamados postulados o axiomas (palabras en la actualidad sinónimas en algunos casos) y los teoremas.

Postulados o Axiomas: Son aquellas proposiciones que se dan como ciertas desde un principio:

Ejemplo: "Por dos puntos distintos pasa siempre una recta y sólo una".

Teoremas: Son aquellas proposiciones cuya certeza es demostrada por un razonamiento, conforme a las leyes de la lógica.

Carmen es prima de José. (Este enunciado puede ser, en efecto, verdadero o falso.)

a. Sofía está cansada. (Como en el ejemplo anterior, este enunciado puede ser verdadero o falso.)

b. Los niños necesitan jugar.

c. Sócrates es un hombre.

d. La cultura es fundamental para la humanidad.

e. x + 4 = 26 (Nótese que según el valor que adopte la variable x, este enunciado puede ser verdadero o falso).

Por el contrario, no serían proposiciones los siguientes enunciados:

g. ¡Dile que pase!

h. ¡Pon el libro en la estantería!

i. Todas las personas tienen que cuidarse.

j. ¿Será eso cierto?

En efecto, los ejemplos g) y h) no constituyen proposiciones, puesto que los enunciados que en ellos figuran no son susceptibles de adaptar uno de los valores: verdadero o falso, y puede afirmarse, en general, que ni las frases imperativas, como g) y h), ni las frases interrogativas, del tipo j), constituyen proposiciones.

En cuanto al ejemplo i), tampoco constituye una proposición, puesto que la partícula “todas” indica que el enunciado debe cumplirse en todos los casos, y por tanto ser siempre verdadero, con lo que desaparece el carácter de bivalencia que caracteriza a toda proposición.

"El triángulo abc es equilátero", es una proposición.

Se trata de una sentencia de la que se puede afirmar si es verdadera o falsa.

De haber suprimido esta palabra, el enunciado resultante “las personas tienen que cuidarse”, sí constituiría una proposición, ya que dicho enunciado podría ser verdadero o falso.

PROPOSICIÓN

1. ¿A qué se llama proposición?

2. ¿Cómo se designa cada una de las proposiciones simples?

OPERACIONES CON PROPOSICIONES

En la práctica, es poco frecuente encontrar enunciados constituidos por una única proposición, como las de los ejemplos anteriores [a) y e)].

Lo normal es que aparezcan enunciados formados por varias proposiciones elementales enlazadas mediante partículas gramaticales, tales como “y”, “o”, “si”, “no”..., resultando de este modo proposiciones compuestas, formadas por una o varias proposiciones simples enlazadas mediante partículas gramaticales.

"El equipo jugó con orden y disciplina pese a que actuó con varios suplentes", es una proposición compuesta: se ha obtenido a partir de las proposiciones:

a1) el equipo jugó con orden;

a2) el equipo jugó con disciplina;

a3) el equipo actuó con varios suplentes.

Las proposiciones a1 y a2 se han unido mediante la conjunción "y"; a2 y a3 por medio de la expresión "pese a que".

Para la representación abreviada de las proposiciones compuestas, y ya que interesa la estructura de la proposición, es decir, la configuración de una proposición a partir de varias proposiciones simples, más que el significado concreto de la proposición, pueden utilizarse las siguientes reglas:

1. Se designa cada una de las proposiciones simples mediante una letra mayúscula del alfabeto.

Ejemplos: Luis viene pronto = P

Me marché = Q

2. Las partículas gramaticales, también denominadas por su carácter de elemento enlazante, conectores lógicos o conectivos proposicionales, se representan mediante símbolos estandarizados, que son los siguientes:

a) “No” (que indica negación):  , -, N, ~.

Ejemplo: La negación de la proposición “Juan quiere correr”, sería “Juan no quiere correr”. Si se designa por P la proposición original, su negación puede expresarse mediante P, -P, NP, ~ P.

b) “Y” (que indica conjunción): 

Ejemplo: “El viento sopla y caen las hojas”. Es fácil observar que la partícula “y” indica que se dan ambos sucesos a la vez. Su representación sería: PQ.

Denominando P a la proposición: “el viento sopla” y Q a la proposición: “caen las hojas”.

La noción de conjunción es análoga, en el campo de las proposiciones, a la intersección en teoría de conjuntos.

c) “O” (que indica disyunción no exclusiva): .

El término “disyunción” implica que puede verificarse una u otra de las dos proposiciones elementales que forman la proposición.

(En adelante, la palabra proposición hará referencia a una proposición compuesta, ya que es el caso más usual, reservándose el nombre de proposiciones elementales para cada una de las que integran la proposición.)

El carácter de “no exclusiva” indica que pueden verificarse las dos proposiciones a la vez, es decir, que una de las proposiciones no excluye a la otra.

Ejemplo: Se considera la proposición “iremos a pasear o cantaremos”; se comprende fácilmente que son posibles tres opciones:

1. Ir a pasear.

2. Cantar.

3. Ir a pasear y cantar al mismo tiempo.

"Trace las alturas del triángulo abc" no es una proposición: se trata de una sentencia de la que no puede afirmarse que sea verdadera o falsa.

En este caso, el cumplimiento de una de las proposiciones elementales no implica el no cumplimiento de la otra; es decir, ambas proposiciones elementales no se excluyen entre sí.

La representación abreviada de esta proposición: “Iremos a pasear o cantaremos”, sería PQ, denominando P a la proposición “iremos a pasear” y Q a la proposición “cantaremos”.

La noción de disyunción no exclusiva, en el campo de la lógica proposicional, es

análoga a la unión dentro de la teoría de conjuntos.

Una proposición compuesta con la disyunción exclusiva es verdadera solo en el caso de que una de sus dos componentes sea verdadera.

Una proposición compuesta con la disyunción no exclusiva es verdadera cuando por lo menos una de sus dos componentes es verdadera.

d) “O...o...” (que indica disyunción exclusiva):.

Se trata, como se ha explicado anteriormente, de un conector proposicional que indica que puede cumplirse una u otra de las dos proposiciones elementales de la proposición, pero no ambas a la vez.

Ejemplo: “O te quedas o te vas”. Esta proposición se representaría mediante PQ, habiendo denominado P a la proposición “te quedas” y Q a la proposición “te vas”.

"Un triángulo abc es o rectángulo o acutángulo"; aquí la disyunción es exclusiva: si es verdadero que el triángulo abc es acutángulo, no es rectángulo, pues no existen triángulos que sean a la vez rectángulos y acutángulos.

La distinción entre la disyunción no exclusiva  y la disyunción exclusiva , no siempre es evidente, puesto que en la práctica se suprime la “o” inicial en las disyunciones exclusivas y su aspecto formal es idéntico.

Sin embargo, se considerará que la disyunción es exclusiva cuando aparezca con suficiente claridad la imposibilidad (física o mental) de que se verifiquen las dos proposiciones componentes al mismo tiempo.

e) “Si... entonces...” (que indica implicación): .

Se trata de un nuevo tipo de conector, cuya estructura es de tipo si... entonces.... aunque bien puede suceder que la segunda de las palabras no esté implícita, es decir, no aparezca formalmente en la proposición.

Conviene no identificar este nuevo conector lógico con un conector lógico que exprese una relación causa-efecto entre las dos proposiciones elementales, puesto que no interesa, en la lógica proposicional, el contenido de las proposiciones, sino la estructura lógica de las mismas.

Así, pues, el cumplimiento o la verdad de una de las proposiciones no implica necesariamente el cumplimiento de la otra, tal como sería de esperar si el conector respondiera a la expresión de una relación causa-efecto.

Ejemplo: Si los libros cantan, entonces los árboles lloran. Se trata, por la estructura formal de la proposición (si... entonces...), de un conector implicación , por lo que se puede representar esta proposición mediante P , habiendo denominado P a la proposición “los libros cantan” y Q a la proposición “los árboles lloran”.

La proposición P que precede al signo  suele denominarse antecedente, mientras que la proposición Q que sigue a dicho signo  se denomina consecuente.

El carácter grotesco de la proposición mencionada está relacionado con el hecho de que lo importante no es el contenido de la proposicion,

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