Matemáticas

2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas

Definición de sucesión infinita

Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.

En este trabajo, el intervalo de una sucesión infinita será un conjunto de números reales.

Si una función f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n le corresponde un número real f(n).Estos números del intervalo de f pueden representarse al escribir:

f(1),f(2),f(3),...f(n),...

Para obtener la forma

de subíndice de una sucesión, hacemos an=f(n) para todo entero positivo n. Si consideramos una sucesión como una función f, entonces podemos considerar su grafica en un plano xy. Como el dominio de f, es el conjunto de enteros positivos, los únicos puntos de la grafica son

(1,a1),(2,a2),(3,a3),...,(n,an),...,

Donde an es el n-ésimo término de la sucesión.

De acuerdo con la definición de funciones, vemos que una sucesión a1,a2,a3,...,an es igual a una sucesión b1,b2,b3,...,bnsi y solo si ak=bk para todo entero positivo k.

Otra notación para una sucesión con n-ésimo termino an es {an}; por ejemplo, la sucesión {2n} tiene como n-ésimo termino an= 2n Con la notación de sucesiones, lo escribimos de esta manera: 21,23,23,...,2n,...

Por definición, la sucesión {2n} es la función f con f(n)=2n Para todo entero positivo n.

A veces tendremos que hallar la suma de muchos términos de una sucesión infinita. Para mayor facilidad al expresar tal suma contamos con la notación de sumatoria. Dada una sucesión infinita

a1,a2,a3,...,an el símbolo

La letra griega mayúscula sigma Σ, indica una suma, y el símbolo ak representa el k-ésimo término. La letra k es el índice de sumatoria, o variable de sumatoria, y los números 1 y m dan los valores mínimo y máximo de variable de sumatoria respectivamente.

http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/blanco/Proyecto%20Final/paginas/inicio.html

2.10 Función implícita

Una

función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:

Diferenciación

Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: .

Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada:

Ejemplo

Obtener la derivada de:

El término 6x2y Se puede considerar que son dos funciones, 6x2 y y por lo que se derivara como un producto:

El término 5y3 se deriva como:

El término 3x2 se deriva de forma normal como:

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

Para el término x2y2 se puede considerar como un producto y se deriva como:

Al unir todos los términos se obtiene:

Ordenando

Factorizando respecto a ( ) los valores son:

Finalmente despejando se obtiene la derivada de la función implícita:

...