LA DERIVADA

LA DERIVADA

Nuestro mundo es cambiante. Las variaciones de una cantidad inciden en que otras cantidades

cambien. Si se decide aumentar el precio de un artículo la utilidad de la empresa ya no será la misma,

probablemente la demanda disminuya y la cantidad de materia solicitada cambiará. Si se aumenta la

temperatura de un gas contenido en un recipiente hermético la presión del gas sobre las paredes del

recipiente aumenta. Si aumentamos nuestro consumo diario de azucares probablemente aumente la

insulina en sangre.

El cálculo diferencial trata del estudio del cambio de una cantidad cuando otra cantidad que está

relacionada con la primera varía.

CONCEPTO

TASA DE CAMBIO PROMEDIO

En una relación lineal entre dos variables: y = mx + b , sabemos que la pendiente m es

la razón de cambio entre las variables y y x . La razón de cambio es constante si la relación entre las

variables es lineal. El problema empieza a complicarse cuando pensamos en relaciones entre las

variables que no son lineales.

Normalmente se piensa que una de las variables es función de la otra. Esto es y = f (x).

Normalmente habrá puntos de la gráfica de la función donde suben más que en otros puntos y otros

incluso bajan.

Una manera de medir la relación entre los cambios de dos variables relacionadas es a través de

la tasa o razón de cambio promedio.

Si denotamos ( ) ( )

2 1 ∆ y = f x − f x como el cambio en y y 2 1 ∆ x = x − x el cambio en x,

entonces la tasa de cambio puede ser escrita como

2 1

2 1

( ) ( )

x x

f x f x

x

y

−

−

=

∆

∆

1

Observe que esta tasa de cambio promedio no es

otra cosa que la pendiente de la recta que une los puntos

( , ( )) 1 1

x f x y ( , ( )) 2 2

x f x llamada la recta secante a la

gráfica de f que pasa por los puntos ( , ( )) 1 1

x f x y

( , ( )) 2 2

x f x .

Definición.- Sea f definida en un intervalo conteniendo los puntos 1

x y 2

x . Se define la tasa de

cambio promedio de la función y = f (x) desde 1

x = x a 2

x = x como

2 1

2 1

( ) ( )

x x

f x f x

−

−Observaciones:

1) Cuando el cambio en y, ∆ y, es positivo se habla del incremento de y

2) La tasa de cambio promedio es un cociente de cambios ó un cociente de diferencia.

3) La tasa de cambio promedio es conocida también como la razón de cambio promedio. La tasa de

cambio puede ser positiva y esto corresponde cuando el cambio en y es positivo al pasar de un punto

1

x a un punto 2

x ( 1 2

x < x ) o puede ser negativo y esto corresponde al caso en que y disminuye o

decrece.

Ejemplo 1.- El tamaño de una población está modelada por

2 P(t) = 5000 + 500t − 50t

donde t es el número de años después del 2001. Calcule la razón de cambio promedio de a) t = 2 a

t = 4 . b) t = 2 a t = 3 y c) t = 2 a 2

1

t = 2 .

Solución:

a) La razón de cambio promedio de t = 2 a t = 4 viene dada por

200

2

400

4 2

5000 500 4 50 16 (5000 500 2 50 4)

4 2

(4) (2)

= =

−

+ ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅

=

−

P − P

hab/año

b) La razón de cambio promedio de t = 2 a t = 3 viene dada por

250

3 2

5000 500 3 50 9 (5000 500 2 50 4)

3 2

(3) (2)

=

−

+ ⋅ − ⋅ − + ⋅

...