Derivadas

Concepto de la derivada

El concepto de derivada surgió como resultado de grandes esfuerzos de los matemáticos (durante muchos años), dirigidos a resolver dos problemas:

1. Determinar la recta tangente a una curva en uno de sus puntos.

2. Encontrar el valor de la velocidad instantánea en movimientos no uniformes.

En el siglo XVII un gran matemático como Isaac Newton dio una respuesta completa a estos problemas mediante la invención del cálculo diferencial.

Un siglo más tarde, un matemático tan importante como Euler contribuyó a mejorar el concepto inventado por Newton.

Pero no fue hasta principios del siglo XIX cuando Cauchy, al relacionar el concepto de derivada con el de límite, hizo que el cálculo de derivadas se transformase en un proceso claro y sistemático que permite hoy en día manejar este concepto con mayor soltura que los grandes matemáticos anteriores a Cauchy.

Al estudiar las funciones podemos proceder con un enfoque estático (¿cuánto vale “y” para un valor concreto de “x”?) o bien mediante un enfoque dinámico (¿con qué rapidez se produce la variación de la variable “y” en relación a la variación de la variable “x”?).

Propiedades de las derivadas

Sean a, b, e y k constantes (números reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.

En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar.

Derivada de una constante

f(x)=k f^' (x)=0

Derivada de x

f(x)=x f^' (x)=1

Derivada de la función lineal

f(x)=ax+b f^' (x)=a

Derivada de una potencia

f(x)=u^k f^' (x)=k* u^(k-1) u^'

Derivada de una raíz cuadrada

f(x)=√u f^' (x)=u'/(2√u)

Derivada de una raíz

f(x)=√(k&u) f^' (x)=u'/(k*√(k&u^(k-1) ))

Derivada de una suma

f(x)=u±v f^' (x)=u'±v'

Derivada de una constante por una función

f(x)=k*u f^' (x)=k*u'

Derivada de un producto

f(x)=u*v f^' (x)=u^'*v+u*v'

Derivada de una constante partida por una función

f(x)=k/v f^' (x)=(-k*v')/v^2

Derivada de un cociente

f(x)=u/v f^' (x)=(u^'*v-u*v')/v^2

Derivada de la función exponencial

f(x)=a^u f^' (x)=u^'*a^u*ln a

Derivada de la función exponencial de base e

f(x)=e^u f^' (x)=u^'*e^u

Derivada de un logarítmo

f(x)=〖log〗_a u f^' (x)=u^'/(u*ln a)= u^'/u*〖log〗_a e

Como 〖log〗_a e=ln⁡e/ln⁡a =1/ln⁡a , también se puede expresar así:

f(x)=〖log〗_a u f^' (x)=u'/u*1/ln⁡a

Derivada del logarítmo neperiano

f(x)=ln⁡〖u f^' (x)=u'/u〗

Derivada del seno

f(x)=sen u f´(x)=u^'*cos⁡u

Derivada del coseno

f(x)=cos u f´(x)=〖-u〗^'*sen⁡u

Derivada de la tangente

f(x)=tg u f´(x)=u^'/(cos^2 u)=u^'*〖sec〗^2 u=u^'*(1+〖tg〗^2 u)

Derivada de la cotangente

f(x)=cotg u f´(x)=u^'/(〖sen〗^2 u)=-u^'*co〖sec〗^2 u=-u^'*(1+〖cotg〗^2 u)

Derivada de la secante

f(x)=sec u f´(x)=(u^'*sen u)/(cos^2 u)=u^'*sec u tg u

Derivada de la cosecante

f(x)=cosec u f´(x)=(u^' cos⁡u)/(〖sen〗^2 u)=-u^'*co〖sec〗^2 u*cotg u

Derivada del arcoseno

f(x)=arc sen u f´(x)=u^'/√(〖1-u〗^2 )

Derivada del arcocoseno

f(x)=arc cos u f´(x)=-u^'/√(〖1-u〗^2 )

Derivada del arcotangente

f(x)=arc tg u f´(x)=u^'/(1+u^2 )

Derivada del arcocotangente

f(x)=arc cotg u f´(x)=-u^'/(1+u^2 )

Derivada del arcosecante

f(x)=arc sec u f´(x)=u^'/(u*√(u^2-1))

Derivada del arcocosecante

f(x)=arc cosec u f´(x)=-u^'/(u*√(u^2-1))

Derivada de la función potencial-exponencial

f(x)=u^v f^' (x)=v*u^(v-1)*u^'+u^v*v^'*ln⁡u

Regla de la cadena

(g°f)^' (x)=g'[f(x)]*f'(x)

Derivadas implícitas

y'=(-F_x^(´'))/(F_y^(´') )

Ejercicios de derivadas.

Encontrar la derivada de

y=x^8

y=x

y=12x^3

y=12/x^3

La

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