Calculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración
Enviado por Raquel Gallegos Orozco • 27 de Noviembre de 2015 • Apuntes • 739 Palabras (3 Páginas) • 169 Visitas
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrable sobre el intervalo [pic 1], definimos F sobre [pic 2]por [pic 3]. Si f es continua en [pic 4], entonces F es derivable en [pic 5]y F'(c) = f(c). |
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
[pic 6] |
Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.
Demostración
Lema
Sea [pic 7]integrable sobre [pic 8]y
[pic 9]
Entonces
[pic 10]
Demostración
Por definición se tiene que [pic 11].
Sea h>0. Entonces [pic 12].
Se define [pic 13]y [pic 14]como:
[pic 15],
[pic 16]
Aplicando el 'lema' se observa que
[pic 17].
Por lo tanto,
[pic 18]
Sea [pic 19]. Sean
[pic 20],
[pic 21].
Aplicando el 'lema' se observa que
[pic 22].
Como
[pic 23],
entonces,
[pic 24].
Puesto que [pic 25], se tiene que
[pic 26].
Y como [pic 27]es continua en c se tiene que
...