Integración Calculo De Areas

INTEGRACI ´ON. C´ALCULO DE

´AREAS

11.1. Introducci´on

Si el problema del c´alculo de la recta tangente llev´o a los matem´aticos del siglo XVII al desarrollo de

las t´ecnicas de la derivaci´on, otro problema, el del c´alculo del ´area encerrada por una curva, propici´o el

desrrollo de las t´ecnicas de integraci´on.

Se trataba, por ejemplo, de hallar el ´area encerrada bajo la curva f(x) entre los puntos a y b:

Se conoc´ıan f´ormulas para recintos de forma igual a figuras geom´etricas(rectangulares, triangulares,

e incluso algunas de curvas espec´ıficas), pero si la curva no ten´ıa forma regular, no se conoc´ıa, en

general, su ´area exacta.

El c´alculo integral da respuesta a esta y otras cuestiones.

11.2. Primitivas. Integral indefinida

Dada un funci´on f(x), sabemos calcular su derivada f
(x), e incluso sus derivadas sucesivas, f

(x),

f


(x), etc.

Sin embargo ahora nos planteamos el problema rec´ıproco:

Dada una funci´on f(x), se trata de encontrar otra, F(x), tal que al derivar esta ´ultima funci´on,

obtengamos la funci´on inicial, es decir:

F

(x) = f(x)

Veamos un ejemplo:

Tomemos la funci´on f(x) = 2x.

Se trata de encontrar una funci´on F(x) tal que al derivarla nos de f(x).

193

CAP´ITULO 11. INTEGRACI ´ ON. C ´ ALCULO DE ´AREAS 194

Si pensamos un poco, llegamos a que tal funci´on puede ser:

F(x) = x2

pues su derivada es precisamente f(x) = 2x.

Ahora bien, no es F(x) la ´unica funci´on que cumple eso.

Tomemos esta otra:

F(x) = x2 + 43

Tambi´en su derivada es f(x) = 2x.

Esto nos hace ver que no s´olo hay una funci´on que cumple lo requerido, sino infinitas, sin m´as que

a˜nadir cualquier n´umero. Esto se expresa como:

F(x) = x2 + C

Una funci´on F(x) como la que hemos encontrado se llama primitiva de f(x), y hemos visto que si una

funci´on tiene una primitiva, entonces tiene infinitas.

Llamaremos integral indefinida de la funci´on al conjunto de todas estas primitivas.

Lo representaremos, en el caso anterior, como:

2x dx = x2 + C, C ∈ R

Definici´on: Dada una funci´on f(x), se llama primitiva de f(x) a otra funci´on F(x) tal que:

F

(x) = f(x)

Se denomina integral indefinida de f(x) al conjunto de todas las primitivas (hay infinitas) de f(x), y

se representa por:

f(x) dx = F(x) + C, C ∈ R

As´ı, el problema de calcular una primitiva de una funci´on es inverso al de calcular una derivada; como

son operaciones inversas la suma y la resta, el producto y el cociente, la potenciaci´on y la radicaci´on.

CAP´ITULO 11. INTEGRACI ´ ON. C ´ ALCULO DE ´AREAS 195

11.3. Primitivas inmediatas

De modo an´alogo al caso de las derivadas, debemos recordar algunas primitivas de las funciones

m´as usuales:

1. −

k dx = kx + C, C ∈ R, k∈ R

2. −

xn dx = xn+1

n+ 1

+ C, C ∈ R, ,n∈

R, n= −1

3. −

x

−1 dx =

1

x

dx = lnx + C, C ∈ R

4. −

ax dx = ax

ln a

+ C, C ∈ R

5. −

ex dx = ex + C, C ∈ R

6. −

sen x dx = −cos x + C, C ∈ R

7. −

cosx dx = sen x + C, C ∈ R

8. −

1

1+ x2 dx = arctanx, C ∈ R

9. −

1 √

1 − x2

dx = arc sen x + C, C ∈ R

10. −

− √ 1

1 − x2

dx = arccosx + C, C ∈ R

Estas primitivas permiten calcular algunas integrales sencillas.

Adem´as es conveniente la utilizaci´on de las dos propiedades siguientes:

1.

k · f(x) dx = k ·

f(x) dx, k ∈ R

Esta propiedad indica que si hay un n´umero multiplicando a toda la integral, entonces se puede

sacar fuera de la integral.

2.

(f(x) ± g(x)) dx =

f(x) dx ±

g(x) dx

Lo que indica esta propiedad es que si tenemos una suma (o resta) de dos funciones, entonces

podemos separar la integral en la suma (o resta) de dos integrales.

Utilizando estas propiedades de manera combinada, se calculan las primeras integrales sencillas.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo: Calcular las integrales siguientes:

a)

√

x dx b)

(15x4 +10x3 − 12x2 − 8x+ 5) dx c)



2

x

+ ex − 3 cos x



dx

CAP´ITULO 11. INTEGRACI ´ ON. C ´ ALCULO DE ´AREAS 196

Para la primera integral , expresamos la ra´ız en forma de potencia y utlizamos la integral inmediata

2:

√

x dx =

x

1

2 dx = x

1

2+1

1

2 + 1

= x

3

2

3

2

=

2x

3

2

3

=

2

√

x3

3

=

2x

√

x

3

+ C, C ∈ R

En la segunda, separamos las sucesivas sumas y restas y sacamos los n´umeros fuera de las integrales,

aplicando las propiedades de la integral para luego aplicar la integral inmediata 2 de nuevo:

(15x4 +10x3 − 12x2 − 8x +5) dx =

15x4 dx +

10x3 dx −

12x2 dx −

8x dx +

5 dx =

= 15

x4 dx+ 10

x3 dx − 12

x2 dx − 8

x dx +

5 dx =

15x5

5

+

10x4

4

− 12x3

3

− 8x2

2

+ 5x =

= 3x5 +

5x4

2

− 4x3 − 4x2 +5x + C, C ∈ R

Por ´ultimo, volvemos a separar las integrales y los n´umeros y aplicamos la tabla de integrales inmediatas:



2

x

+ ex − 3 cos x



dx =

2

x

dx +

ex dx −

3 cosx dx =

= 2

1

x

dx +

ex dx − 3

cosx dx = 2lnx + ex − 3 · sen x + C, C ∈ R

Ejercicio: Calcular las siguientes integrales:

a)

5x3 − 4x

x4 dx b)

sen x + 2cosx + 3 dx c)

(18x+ 1) dx

d)

(2x − 1)2(2x +1) dx e)



2

x

+

3

x2 +

4

x3



dx f)

(x +2)2 dx g)

2 3

√

x dx

11.4. Integraci´on por cambio de variable

A veces las integrales no son tan simples como las inmediatas, sino que hay peque˜nos detalles que

nos impiden aplicar la tabla de primitivas.

Por ejemplo, podemos calcular sin problema la integral:

sen x dx = −cos x + C, C ∈ R

pues es inmediata.

Sin embargo otra integral tan parecida y de aspecto simple como:

sen (2x +6) dx

ya no la sabemos calcular porque no aparece en la tabla de primitivas inmediatas.

El razonamiento a utilizar en este caso es el siguiente:

Si en vez de tener en la integral anterior 2x+6, tuvi´esemos simplemente x, la integral ser´ıa inmediata.

Por tanto, la idea es la siguiente, vamos a cambiar la variable x por otra nueva (que usualmente

denotaremos por t) y que simplifica la tarea.

Llamaremos t a la variable que tiene la siguiente relaci´on con x, en este caso:

t = 2x +6

CAP´ITULO 11. INTEGRACI ´ ON. C ´ ALCULO DE ´AREAS 197

Ahora bien, se nos plantea otro problema. En la integral aparece el t´ermino dx (l´ease diferencial de x).

Lo l´ogico es que si la integral tiene una nueva variable t, en vez de aparecer diferencial de x, aparezca

diferencial de t, para no mezclar las variables.

Aunque pueda parecer una forma un poco artificial, daremos aqu´ı la forma para calcular dt.

Simplemente se deriva en la expresi´on del cambio de variable:

Derivando t = 2x + 6, se obtiene, 1 · dt = 2· dx, es decir que:

dx = dt

2

Una vez calculado esto, ya podemos calcular la integral:

sen (2x+ 6) dx =

cambio

sen t · dt

2

=

1

2

sen t · dt =

1

2

(−cos t) =

=

deshacer el cambio

−1

2

cos (2x+ 6)+C, C ∈ R

El m´etodo del cambio de variable permite resolver de manera simple integrales que de otro modo no

se podr´ıan abordar.

Ejemplo:

e2x3−5x2 dx

Razonando como antes, se observa que la parte problem´atica de la integral est´a en el exponente de

dicha integral.

Hacemos entonces el cambio:

t = 2x3 − 5

y calculando el diferencial:

dt = 6x2 dx

de donde despejamos la parte que aparece en la integral:

x2 dx = dt

6

y por tanto la integral queda reducida a:

...