Conjuntos de los numeros reales

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“RAFAEL MARÍA BARALT”

VICERRECTORADO ACADÉMICO

PROGRAMA ADMINISTRACIÓN

[pic 1]

CONJUNTO

DE LOS NÚMEROS REALES

Autora:

 Andreina Hidalgo

                                                                                                   C.i. 27.104.746

San Francisco, noviembre de 2020

Esquema

                                                                                                                             Pág

1. Introducción a la Teoría de Conjuntos…………………………………..3
2. Operaciones con Conjuntos……………………………………………….3

…………………………………………………………………………………...4

…………………………………………………………………………………...5

1. Propiedades de las Operaciones con Conjuntos………………………6

…………………………………………………………………………………...7

1. Conjuntos Numéricos N, Z y Q……………………………………………..7

……………………………………………………………………………………8

1. Conjunto R de los Números Reales…………………………………….....8

……………………………………………………………………………………9

1. Operación en R. Propiedades de las Operaciones en R.......................9

…………………………………………………………………………………..10

…………………………………………………………………………………..11

…………………………………………………………………………………..12

1. Intervalos. Operaciones con Intervalos…………………………………12

…………………………………………………………………………………..13

…………………………………………………………………………………..14

1. Inecuaciones, 1er y 2do Grado………………………………………........14

…………………………………………………………………………………..15

…………………………………………………………………………………..16

…………………………………………………………………………………..17

…………………………………………………………………………………..18

1. Ecuaciones, 1er y 2do Grado……………………………………………...18

…………………………………………………………………………………..19

1.  Bibliografía…………………………………………………………………...20

…………………………………………………………………………………..21

1. Introducción a la teoría de conjuntos

     Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es       decir, elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.

     Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas.

     Por ejemplo: C = {a, b, c, d, e, f, g, h}

 En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo: es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 (incluidos ambos).

    Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos elementos.

2. Operaciones con conjuntos

     Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de     conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.

    Tenemos las siguientes:

• Unión de conjuntos: Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o de B, es decir:

       [pic 2] 

     Ejemplo: Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B= {b, d, r, s}. Entonces está formados  todos los elementos que pertenecen a A o a B. Luego AUB= {a, b, c, d, f, r, s}                                                                   

• Intersección de conjuntos: Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir:

[pic 3] La intersección es la parte obscura de la misma.

       [pic 4]

     Ejemplo: Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y C = {a, t, u, v}.

     Encuentre: A  ∩ B, A ∩ C y C ∩ B

     Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos conjuntos, se tiene que: A ∩ B = {b, e, f}

                                        A ∩ C = {A}

                                        C ∩ B = { }

     Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo anterior, se denominan Conjuntos disjuntos.

• Diferencia de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto:

[pic 5]

     Luego A-B se llama complemento de B con respecto a A.

[pic 6].

A-B está representado por la zona rayada

     Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces:

A – B = {a} y B – A = {d, e}.

     Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto

[pic 7]

     La diferencia simétrica está representada por las regiones menos oscuras. (Lo que no tienen en común).

     Ejemplo: Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f, g}. Entonces A △ B = {b, d, f, g}

• Complemento de un conjunto: Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A ' formado por todos los elementos de U, pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:

[pic 8]

     Ejemplos: Sean U = {m, a, r, t, e} y A = {a, e} Su complemento de A es: A' = {m,t,r}.

     Sean U = {letras de la palabra aritmética} y A = {e, i, a}

      Determinado por extensión tenemos U = {a, r, i, t, m, e, c} A = { e, i, a }Su complemento es: A' = {r, t, m, c}

[pic 9]

3. Propiedades de las operaciones con conjuntos

    Propiedades de unión

• Conmutativas: Si en una unión se altera el orden de los conjuntos, el resultado no varía.

R∪S∪T=S∪R∪T

R∪S∪T=T∪R∪S

• Asociativas: Si en una unión de tres o más conjuntos se reemplazan dos conjuntos por su unión efectuada, se obtiene el mismo resultado.

R∩S∩T=(R∩S)∩T

R∩S∩T=R∩(S∩T)

Propiedades de la intersección

• Propiedad asociativa: si en una intersección de tres o más conjuntos se reemplazan dos de ellos por su intersección efectuada, el resultado total es el mismo.

R∪S∪T=(R∪S)∪T

R∪S∪T=R∪(S∪T)

• Propiedad conmutativa: Cambiando el orden de los conjuntos no se altera.

R∩S∩T=R∩T∩S

R∩S∩T=T∩R∩S

• Propiedad Distributiva: La unión es distributiva con respecto a la intersección.

(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)

La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión.

(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)

• Propiedades de la diferencia: La diferencia de conjuntos no es asociativa, la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

La diferencia es distributiva con respecto a la unión y a la intersección de conjuntos

(R∪S)-T=(R-T)∪(S-T)

(R∩S)-T=(R-T)∩(S-T)

4. Conjuntos numéricos N, Z y Q  

• Números Naturales: (N) Son los numero que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vacío. Simbólicamente: N = { 1, 2, 3,…, n, n+1}.

• Números Enteros: (Z) El conjunto de los números enteros está formado por la unión de los naturales, el cero y los opuestos de los naturales. Simbólicamente: Z = {… −3,  −2, −1, 0, 1, 2, 3…}.

• Los números racionales: (Q) Los Números Racionales son los números que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Esto es, los que se pueden expresar como fracción. En símbolos / a, b ∈ Z y b ≠ 0}. [pic 10]

Ejemplo:   = 2[pic 11]

                 = 3.5[pic 12]

                 = 2.66666666…[pic 13]

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